如何捕捉实数

为了证明结合率，需要先证明以下两个引理

• 引理 2.2.2: 加法定义初始条件的交换律

  对任意的自然数 n，n + 0 = n 恒成立。

• 引理 2.2.3: 加法定义递归部分的交换律

  对任意的自然数 n 和 m，有 n + (m + +) = (n + m) + + 成立。

  用归纳法，可以证明 n+(m++) = (n+m)++ ，这个定理打通了 n+1,n+3,n+0 序列之间的界限，在它们之间建立了 shortcut ，比较 n+1 和 n+3 时，不再需要递归地回到原点，而直接建立的 ((n+1)++)++ = n+3 这层关系， 使得真正意义上我们所熟悉的加法出现了。从这开始，就可以证明加法的结合律和交换律

• 最终结合律 (a+b)+c = a + (b+c) 的证明：
  • 对 b 归纳，b =0 时， (a+0)+c = a+c = a + (0+c); (根据 引理 2.2.2 and 定义 2.2.1)

  • 假设 b=n 时 (a+n)+c=a+(n+c) 成立

    要证明： (a+(n++))+c=a+((n++)+c)

    根据引理 2.2.3 和定义 2.2.1, 左边等于 ((a+n)++) + c = ((a+n)+c)++;

    根据定义 2.2.1 和引理 2.2.3, 右边等于 a+((n+c)++) = (a+(n+c))++;

    因此两边相等

对 c 进行归纳（如果对 a 或者 b 归纳会遇到麻烦）

• a=0 时， 0+b=0+c, 根据 0 上的加法定义得到 b=c
• 假设 a+b=a+c->b=c, 那么 (a++)+b=(a++)+c 得到 (a+b)++=(a+c)++, 根据公理 2.4 得到 a+b=a+c, 根据归纳假设，得到 b=c

对 a 进行归纳：

• a=0 时，前提就是错误的，因此这是一个恒为真的空推断
• 归纳假设： 恰存在一个自然数 b 使得 b++ = a。
• 那么 a++ = (b++)++, 因此 b++ 就是使得 x++=a++ 中的 x, 如果有其他的自然数 c 也满足, a++=c++, 根据公理 2.4, a=c=b++. 因此二者是相同的，这说明了唯一性。

prove substition propperty of order a<=b, then b = a + c, then b+n = a+n+c, then b+n >= a+n

order(小于等于)符合自反性，传递性和*反对称性* (a) reflexive: a = a+0 so a >= a

(b) transitive: if a >= b and b >= c then a=b+x,b=c+y, by substitution, a = c+y+x，then a >= c

(c) anti-symmetric: if a >= b , b >= a, then a=b+x, b = a+y，by substitution a=a+x+y, by prop 2.2.6, x+y=0, by cor 2.2.9 x=y=0， so a=b

(d) addition preserves order: a >= b iff a+c >= b+c from left to right，a=b+x，a+c=b+c+x by addition substitution, then a+c >= b+c from right to left, a+c=b+c+x，by 2.2.6 cancellation law, a=b+x, a>=b

(e) a < b iff a++ <= b from left to right: a<b then a+x=b and a != b, we cannot use proof by contradiction because we have not defined what the negation of a <= b is. we can prove that x != 0, because if x=0, then a=b, this means x is a positive number, by lemma 2.2.10, there exists exactly one natural number c such that x = c++, so a+(c++) = b by 2.2.3, a+(c++) = (a+c)++ =(a++)+c, by defintion, so (a++)+c=b, and we know (a++)<=b

from right to left, a++ <= b, then b = (a++) + c, so b >= a, then we prove a != b , if a = b , then a=a+(c++), (c++)=0 , this is conflict with axiom3

(f) 证明$a<b iff ∃ d≠ 0, b=a+d $ left to right, this have been proved in (e) right to left, b = a + d, d!=0, then a <= b by definition, now we prove a != b by contradiction, if a = b, then a = a + d, d = 0, this is conflict with the fact that d is positive.

书本已经给出了证明框架，在此描述其思路：

• 首先要证明两两之间不可能同时成立，这样最多就只有一个为真，只要说明两两不能同时为真即可
• 接着证明至少有一个为真，竟然可以用归纳法，保持 b 不变，a 进行归纳：
  • a=0 的时候可以知道 0<=b 成立，这就足够了，因为我们只需要证明至少有一个为真，而 0<=b 表达了两种可能。
  • 然后分情况讨论 a++ 的情况，需要讨论三种不同的可能，并证明在每个可能下，a++>b, a++=b, a++<b 至少有一个成立

这里先把归纳法公理写成数理逻辑语言：

((R(0)&Ax[(R(x)->R(s(x)))])->Ax[R(x)])

再把强归纳写成数理逻辑语言：

A(m)[A(x)[(m0<=x<m)->P(x)]->P(m)]->A(m)[(m>=m0)->P(m)]

并拆分

P1(m) := A(x)[(m0<=x<m)->P(x)]
P2(m) := (m>=m0)->P(m)

那么强归纳定理可以写成：

A(m)[P1(m)->P(m)]->A(m)[P2(m)]

这里可以看到的问题：

• x 要替换成 m
• 但是 P1 P2 和 P 的形式都不是统一的，我们需要一个 R 可以同时表示这三个命题
• P1(m)->P(m) 要能写成 R(m)->R(s(m))
• 实现 R 后要补上 R(0)

我们首先来看 P1(m)->P(m) ， P1(m) 论述的是，如果一个范围内的自然数具有某个性质 P, 那么该范围右侧端点加一的自然数 m 也满足性质 P 。而由于 P1(m)->P1(m), 因此我们实际可以改写成 P1(m)->P1(m)&P(m), P1(m)&P(m) 表示的是在 m0<x<m++ 范围内，P(x) 也成立。 这么看，似乎可以把归纳这一步写成 P1(m)->P1(s(m)), 整个强归纳法就是：

A(m)[P1(m)->P1(s(m))]->A(m)[P2(m)]

这体现出一种明显的把 P1 替换成 R 的倾向, 但如果我们把归纳法模板里的 R 都用 P1 替换, 得到的结果是：

A(m)[P1(m)->P1(s(m))]->A(m)[P1(m)]

结论 A(m)[P1(m)] 部分展开就是

A(m)[A(x)[(m0<=x<m)->P(x)]]

它需要能够推出强归纳法里原始的结论部分：

A(m)[(m>=m0)->P(m)]

这部分语义上看是明显的，因为对任意大的 m, 在 m0 到 m 之间的数都满足性质 P, 那么说明比 m0 大的数都应该满足性质 P 。

最后补充上 R(0), 也就是 A(x)[(m0<=x<0)->P(x)], 这是恒成立的，因为前提为 False （证明方法是对任意自然数 x 有 x=x+0, 因此根据序的定义， 0<=x, 根据三歧性， 0>x 不成立）

令 n 表示一个自然数，令 P(m) 是关于自然数的一个性质并且满足：只要 P(m++) 为真，P(m) 就为真。假设 P(n) 也为真，证明：P(m) 对任意满足 m <= n 的自然数 m 均为真；这被称为逆向归纳法原理。

• base case: n=0 的时候，P(0)成立，则对 m<=n 的 m 只有 m=0，此时所有 P(m) 都成立
• 归纳假设：n=k 的时候逆向归纳法成立，这里把完整的逆向归纳假设，即"如果 P(n)成立，且 P(m++) 成立能推出 P(m) 成立，则所有 n<=m 都有 P(n) 成立"作为条件。
• 接着要证明的是，“如果 P(k++)成立并且 P(m++)成立能推出 P(m)也成立，则对所有\(m\le k++\),P(m)都成立“。
• "如果 P(k++)成立并且 P(m++)成立能推出 P(m)也成立"这句话表明，如果 P(k) 在这个条件下也是成立的，再由归纳假设可知所有\(m\le k\),P(m)都成立，因此所有\(m\le k++\),P(m)都成立。这证明了逆向归纳法。

仿造加法交换率：

• 先证明在 0 可以交换，mx0=0. 对 m 进行归纳

  由乘法定义可知 0x0=0，归纳假设 mx0=0,则 (m++)x0= mx0+0=0，因此归纳法可知 mx0=0

• 再证明 m++ 的可以交换： nx(m++)=(nxm)+n

  对 n 进行归纳，由乘法定义可知左边 0x(m++)=0 ,右边 0xm+0=0 ，因此 base case 成立，归纳假设 n 时成立，要证明 n++ 时成立，

  左边 (n++)x(m++) = nx(m++)+(m++) = (nxm)+n+(m++)

  右边 (n++)xm+(n++) = nxm + m + (n++)

  因此左边=右边，因此 mx(n++) = mxn+m

• 最后证明 nxm = mxn:

  根据乘法定义和本题第一条的结论可知 base case 成立，归纳假设 nxm=mxn 成立，则 n++时

  左边=(n++)xm = (nxm)+m = mxn + m

  右边 mx(n++) = (mxn)+m

  因此左边等于右边，因此证明结束。

• 反证法，如果 n,m 都是正数，那么由引理 2.2.10 可知，存在一个自然数 a 使得 (a++)=n, 因此 nxm = (a++)xm = axm+m。
• 由于 m 为正，根据命题 2.2.8, 那么 axm+m 也为正，因此 nxm 为正。这与前提矛盾，故 n 和 m 中至少有一个是 0.
• 在反证法过程中也说明了，如果 n 和 m 都是正数，那么 nm 也是正数。

注意以上证明某数为正时，完全用的是正的定义以及 peano 公理的直接推论 – 引理 2.2.10: 只要某个数能写成 a++ 形式，这个数就是正的。而在引入自然数的序之后，可以用比较的方式来说明某自然数为正：

即对任意自然数 a ，如果 b>a，则 b 为正。根据定理 2.2.12 (f), b>a 意味着 b=a+(k++)=(a+k)++，因此 b 为正(还是写成 x++的形式)。

• base case: (axb)x0 = ax(bx0)，按照乘法定义以及引理 2.3.2 乘法交换律可以证明左右都是 0
• 归纳假设 (axb)xc = ax(bxc) 成立
• 左边 = (axb)x(c++)=(axb)xc+(axb), 右边 = ax(bx(c++))=ax(bxc+b)=ax(bxc)+(ab), 这里用了命题 2.3.4 的乘法分配律。根据归纳假设，左边=右边，证明完毕。

两种证明：

一是归纳法，对 c 归纳：

• c=0, 因为空推断而成立
• 归纳假设成立情况下，如果 a(c++)=b(c++), 那么根据引理 2.3.2 的乘法交换律和乘法定义得到， ac+a=bc+b, 由于 ac=bc, 根据等式替换规则，可以写成 ac+a=ac+b, 根据命题 2.2.6 加法消去律得到 a=b

另一种是用反证法结合命题 2.2.13 里三歧性：

• 如果最终 a>b, 那么根据命题 2.3.6, ac>bc ，根据三歧性，它与 ac=bc 矛盾
• 同样如果 a<b 也会得到矛盾，因此 a=b

• 固定 q，对 n 进行归纳，n=0 时，等式右侧必须是 0+0 的形式，因此找到 m=0，r=0 使得 0=0q + 0
• 归纳假设为 n = mq+r, 需要证明 n++ = Mq + R,0 <= R <= q
• 由于 n++ = mq+r+1，根据三歧性:
  • 如果 r+1 < q, 则 n++ = mq + R;
  • 如果 r+1 = q, 则 mq+q = (m+1)q + 1, 因此 M=m+1, R=0
  • 如果 r+1 > q, 根据命题 2.2.12 可知 r < q 等价于 r++ <= q, 因此这是不可能的。
• 所以在所有情况下，都能找到符合要求的 m 和 r

对于所有自然数 a,b 都有 \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\)

这里不需要用归纳法，直接计算 (a+b)(a+b):

• 根据分配律得到 (a+b)a+(a+b)b
• 继续分配得到 aa+ba+ab+bb
• 交换律得到 aa+2ab+bb

• 自反：a–b=a–b, 因为 a+b=a+b
• 对称性：a–b=c–d 则 a+d=c+b, 那么 c+b=a+d, 所以 c–d=a–b

根据定义 -(a–b)=(b–a), -(a'–b')=(b'–a'), 要证明 (b–a)=(b'–a'), 需要证明 b+a'=b'+a, 而 (a–b) = (a'–b') 意味着 a+b'=a'+b, 根据加法交换律可以得到 b+a'=b'+a.

(−1) * a=−a 对任意整数 a 均成立。

a 可以写成 (a–0), -1 写成 -(1–0), 因此 (−1) * a =(0–1)(a–0) = (0*a+1*0)–(0*0+1*a) = 0–a = -a

假设 (a–b),(c–d),(e–f) 表示 x,y,z

• x + y = y + x:

  要证明 (a+c–b+d)=(a+c–b+d), 因为 a+c+b+d=a+c+b+d

• (x + y) + z = x + (y + z):

  归约到自然数加法结合律 ((a+c)+e–(b+d)+f) = (a+(c+e)–b+(d+f))

• x + 0 = 0 + x = x:

  要证明 (a–b)+(0–0)=(0–0)+(a–b)=(a+b), 归约到 a+0=0+a=a 和整数相等自反性上。

• x + (−x) = (−x) + x = 0

  要证明 (a–b) +(b–a)=(b–a) + (a–b), 这规约到 a+b=b+a 上

  接着证明 (a+b–b+a)=(0–0), 因为 a+b+0=0+b+a.

• xy = yx

  要证明 (a–b)(c–d)=(c–d)(a–b)

  (ac+bd–ad+bc)=(ca+db–cb+da), 根据自然数乘法和加法交换律右侧可以变换成与左侧一样

• (xy)z = x(yz): 书本已证

• x1 = 1x = x

  xy=yx 可知 x1=1x, x1 = (a–b)(1–0) = (a+b*0–b*1+a*0) =(a–b) = x

• x(y + z) = xy + xz

  要证明 (a–b)(c+e–d+f)=(ac+bd–ad+bc) + (ae+bf–af+be)

  左边等于 (a(c+e)+b(d+f)–(b(c+e)+a(d+f))) =(ac+ae+bd+bf–bc+be+ad+af)

  右边等于 (ac+bd+ae+bf–ad+bc+af+be), 根据自然数加法乘法交换律可知与左边相等

• (y + z)x = yx + zx: 根据 x(y + z) = xy + xz 和 xy = yx 可以得到

反证法： 如果 a b 都不等于 0, 那么它们可以表示为 (x–0) 和 (y–0), 其中 x 和 y 都是正自然数：

ab = (x–0)(y–0) = (xy+0)–0 =(xy–0), 根据引理 2.3.3, xy 不等于 0, 因此 (xy–0) 不等于 (0–0), 与前提矛盾。

(a–b)(c–0)=(ac–bc), 由于 ac=bc 因此 (ac–bc)=(0–0)

因此 (a–b)(c–0)==(0–0), 根据整数没有 0 因子性质以及 c–0 不为 0 ，那么 a–b 就一定是 0, 那么 a=b 就必须成立。

设 a、b、c 是整数。 (a) a>b 当且仅当 a-b 是一个正的自然数。

如果 a>b, 根据整数序的定义， 存在自然数 m 使得 a=b+m, 且 m!= 0 ，由于不等于 0 的自然数就是被定义为正自然数，m 是正自然数，对 a=b+m 两边加上 -b 得到 a-b=m, 因此 a-b 是一个正自然数

如果 a-b 是一个正自然数，记为 m, 那么 a-b=m, 两边加上 b, 得到 a=b+m, 根据定义这就是 a>b

(b) （加法保持序不变）如果 a>b ，那么 a + c>b + c。

a>b 意味着 a-b=m, m 为正自然数。

由于 c+(-c)=0, 因此 a-b+c+(-c)=m, 因此 a+c-b+(-c)=m

两边加上 b+c 得到 a+c=b+c+m, 因此 a+b>b+c

(c) （正的乘法保持序不变）如果 a > b 并且 c 是正的，那么 ac > bc。

a>b 意味着 a-b=m, m 为正自然数。

两边乘以正数 c, 根据分配律： ac-bc=mc, 两边加上 bc 得到 ac=bc+mc

由于 m 和 c 都是正的，mc 为正（把 m,c 看作自然数，根据引理 2.2.3），因此 ac>bc.

(d) （负运算反序）如果 a > b，那么 −a < −b。

a>b 意味着 a-b=m, m 为正自然数。那么 -b+a=m, -b-(-a)=m

两边加 -a 得到 -b=-a+m, 因此 -b>-a

(e) （序是可传递的）如果 a > b 且 b > c，那么 a > c。

a=b+m, b=c+n, 则 a=c+m+n, m,n 为正，因此 a>c

(f) （序的三歧性）命题 a > b、a < b 和 a = b 中恰有一个为真。

对于任意整数 a 和 b, a-b 是整数，因此根据引理 4.1.5（整数的三歧性）， a-b>0,a-b=0,a-b<0 只有一个成立，而它们分别对应了 a>b, a<b, a=b

一个反例是 P(n) 是 n>=0, 首先 P(0) 为真，而对于所有正数，P(n)->P(n++) 前后件命题都为真。

对于小于 0 的整数，则是空推断，恒为真。

注意相等关系和整数的也非常"对偶", 整数 a–b=c–d 等价于 a+d=c+b, 把 + 换成乘法把 – 换成 // 就是比例数了。

验证有理数上“相等”符合等于关系公理：

• 自反： a//b=a//b 因为 ab=ab

• 对称：

  a//b=c//d <-> ad=cb <-> cb=ad <-> c//d=a//b
  

• 可传递的： a//b=b//c, b//c=e//f 则 a//b=e//f

  a//b=c//d <-> ad=cb <-> adf=cbf
  c//d=e//f <-> cf=ed <-> cfb=edb
  <-> adf=edb
  <-> ;; 推论 4.1.9 ac = bc ->a=b
  <-> af=eb
  <-> a//b=e//f 
  

证明乘积和负运算是良好定义的，即证明两个操作符合替代公理：

假设有 (a'//b') = (a//b)

• 证明 (a//b) * (c//d)=(a'//b') * (c//d)

  也就是证明： (ad+bc)//bd = (a'd+b'c)//b'd

  即证明： (ad+bc)b'd=(a'd+b'c)bd

  根据整数乘法分配律，要证明： (adb'd+bcb'd)=(a'dbd+b'cbd)

  根据整数替换性质，该式子成立

• 证明 -(a//b)=-(a'//b')

  也就是证明： (-a)//b=(-a')//b'

  即证明： (-a)b'=b(-a')

  根据整数乘法交换律和替换性质，该等式成立。

记 x = a//b ，y = c//d 以及 z = e//f ，其中 a、c、e 是整数， b、d、f 是不为零的整数。

• x + y = y + x

  a//b+c//d = (ad+bc)//bd = (cb + da)//db = c//d + a//b

• (x + y) + z = x + (y + z)
• x + 0 = 0 + x = x
• x - (−x) = (−x) + x =0
• xy = yx
• (xy)z = x(yz)

• x1 = 1x = x

  根据 xy=yx 可以得到 x1=1x

• x(y + z)= xy + xz

• (y + z)x = yx + zx

  根据 x(y + z)= xy + xz 和交换律可以得到。

首先证明其中必有一个为真，根据定义，存在整数 a 和 b, 且 b 不为 0, 使得 x 表示成 a//b 形式，根据整数三歧性，b 要么是正，要么是负，如果 b 是正，那么可以讨论 a 的三歧性：

• 如果 a 是正，根据定义 x 就是正
• 如果 a 是 0 那么 x 为 0;
• 如果 a 为负，那么 a 就是某个正自然数 m 的负数，即 a=-m, x=(-m) //b, 根据定义 x 就是负的。

如果 b 是负的，那么存在一个正数使得 b=-n, 继续讨论 a 的三歧性

• 如果 a 是正，x=a//(-n), 根据定义可以得知它等于 (-a)//n = -(a//n), 因此 x 是负的。

  这里要说明 (-a)(-n)=an, a,n 都是整数，因此左侧可以写成 (0–a)(0–n)=(0+an–0)=an

• 如果 a 是 0 那么 x 为 0;
• 如果 a 为负，那么 a 就是某个正自然数 m 的负数，即 a=-m, x=(-m) //(-n), 它等于 m//n, 因此 x 是正的。

注意以上每个分支都是互斥的，因为都是根据三歧性的到的。

(a) （序的三歧性）命题 x = y、x < y 和 x > y 中恰有一个为真。 (b) （序是反对称的）我们有 x < y 当且仅当 y > x。 (c) （序是可传递的）如果 x < y 且 y < z，那么 x < z。 (d) （加法保持序不变）如果 x < y，那么 x + z < y + z。 (e) （正的乘法保持序不变）如果 x < y 且 z 是正的，那么 xz < yz。

.

(a) （序的三歧性）命题 x = y、x < y 和 x > y 中恰有一个为真。

x-y 根据定义展开后它是有理数，根据有理数三歧性，它有 =0,>0,<0 三种状态，根据序的定义，就说明了以上三个命题恰有一个为真。

(b) （序是反对称的）我们有 x < y 当且仅当 y > x。

x<y 意味着 x-y 是小于 0 的，那么 -(x-y) 就是大于 0 的，它等于 y-x, 因此 y>x

(c) （序是可传递的）如果 x < y 且 y < z，那么 x < z。

x<y, y<z 意味着 y=x+m , z-y=n, 其中 m,n 都是正有理数

那么 z-(x+m)=n, z=x+m+n, m+n 为正有理数，因此 z>x, 根据 (b) x<z

(d) （加法保持序不变）如果 x < y，那么 x + z < y + z。

x<y 意味着 y=x+m, m 为正有理数，那么 y+z=x+z+m, 因此 x+z<y+z

(e) （正的乘法保持序不变）如果 x < y 且 z 是正的，那么 xz < yz。

x<y 意味着 y=x+m, m 为正有理数，那么 yz=xz+mz, mz 为正，因此 xz<yz

如果 x、y、z 是有理数，并且满足 x < y 和 z 是负的，那么 xz > yz。

x<y 意味着 y=x+m, m 为正有理数，那么 yz=xz+mz, mz 是正有理数乘以负有理数，得到的也是负数（按形式商展开后可以得到）， 因此 xz>yz.

(a): 根据定义 x 是正，则 |x| = x 是正的，因此 x>0, 如果， x 为负，则 x=-m, m 为正，那么 |x|=-(-m)=m >0, 这同样说明，如果 x 不为 0, 那么 |x| 不为 0 （这等价于 |x|=0 -> x=0）, 接着说明如果 x 为 0, 那么 根据定定义 |x| 为 0.

(b): 按 x 的三歧性分类：

• 如果 x 为 0, 那么问题就变成 |y|<=|y| 了，由于 |y| 是有理数，这是恒成立的。同样 y 等于 0 的时候，也成立，因此之后我们只讨论 x,y 分别为正和负的情况
• x 为正，且 y 为正： x + y 为正，因此可以直接拿掉绝对值，|x+y|=x+y=|x|+|y|
• x 为正，且 y 为负： 假设 y=-m, |x|+|y|=x+m, 那么根据三歧性继续考虑三种情况：
  • x-m>0: |x+y|=|x-m|=x-m <= x+m <= |x|+|y| ，因为 x<x+2m
  • x-m<0: |x+y|=|x-m|=m-x <= x+m <= |x|+|y| ，因为 -x<=x
  • x-m=0: |x+y|=|x-m|=0 <= x+m <= |x|+|y| ，因为 x+m 为正
• x 为负，y 为正和以上是对称的
• x 为负，y 为负，那么 |x+y|=-(x+y)=-x+-y=|x|+|y|

(c): 根据 x 的三歧性：

• x>=0, 那么 x=|x| （0 也放在一起处理）
  • 如果 -y<=x<=y 成立，那么 y>=x, 因此 y >= |x|
  • 反过来，如果 y >= |x|, 那么 y>=x, 大于等于关系传递性可得 y>=0, 两边乘以 -1 由 习题 4.2.6 可得 0>=-y, 因此 -y<=x<=y
• x<0, 那么 x=-m, m 为正有理数， |x|=m
  • 如果 -y<=x<=y 成立，那么 -m>=-y, 两边乘以 -1 可得 y>=m, 因此 y >= |x|
  • 反过来，如果 y >= |x|=m, 那么 y>=m>=-m=x, 两边乘以 -1 可得 -m>=-y, 即 x>=-y, 因此 -y<=x<=y

特别地，|x|>=|x|, 因此 -|x|<= x <= |x|。

(d): 根据 x 的三歧性：

• x=0, |xy| = 0 = |x||y|, 同时 y =0 时也是一样的，因此后文不考虑 y=0 情况。
• x>0, 继续根据 y 的正负分类：
  • y>0: |xy|>0, 因此 |xy| = xy = |x||y|
  • y<0: y=-m, n 为正有理数，那么 |xy|=xm=|x||y|
• x<0, y> 0 是情况类似。
  • x<0,y<0, 时那么 x=-m, y=-n, m,n 都是正有理数 |xy|=mn=|x||y|

特别地，y=-1 时有 |-x| = |x|。

(e) 根据定义 d(x, y) = |x-y|, 而根据 (a)。 |x-y| >= 0 同样根据 (a) |x-y| = 0 时， (x-y)=0, 因此 x=y

(f) 根据定义 d(x, y) = |x-y|, 根据 (d) |x-y|=|-(x-y)|=|y-x| 因此 d(x, y) = d(y, x)。

(g) 根据 (b) |x -y + y - z| <= |x-y| + |y-z|。 而 |x -y + y - z| = |x-z| 根据距离定义可知： d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)。

(a) 如果 x = y，那么对任意的 ε > 0，x 都是 ε-接近于 y 的。反过来，如果对 于任意的 ε > 0，x 都是 ε-接近于 y 的，那么 x = y。

(b) 设 ε > 0，如果 x 是 ε-接近于 y 的，那么 y 也是 ε-接近于 x 的。

(c ) 设 ε, δ > 0，如果 x 是 ε-接近于 y 的，并且 y 是 δ-接近于 z 的，那么 x 和 z 是 (ε + δ)-接近的。

(d) 设 ε, δ > 0，如果 x 和 y 是 ε-接近的，并且 z 和 w 是 δ-接近的，那么 x+z 和 y + w 是 (ε + δ)-接近的，并且 x − z 和 y − w 也是 (ε + δ)-接近的。

(e) 设 ε > 0，如果 x 和 y 是 ε-接近的，那么对任意的 ε‘ > ε，x 和 y 也是 ε’-接近的。

(f) 设 ε > 0，如果 y 和 z 都是 ε-接近于 x 的，并且 w 位于 y 和 z 之间（即 y <= w <= z 或 z<= w<= y），那么 w 也是 ε-接近于 x 的。

(g) 设 ε > 0，如果 x 和 y 是 ε-接近的，并且 z 不为零，那么 xz 和 yz 是 ε|z|-接近的。

(h) 设 ε, δ > 0，如果 x 和 y 是 ε-接近的，并且 z 和 w 是 δ-接近的，那么 xz 和 yw 是 (ε|z| + δ|x| + εδ)-接近的。

.

设 x、y、z、w 是有理数。证明中有时候用 e 来代替 ε

(a) x=y, 则 |x-y|=0, 而 e>0 ，因此对任意 e, x 都 e-接近于 y.

反过来，用反证法，如果 |x-y|>=0, 假设 |x-y| 是一个正有理数 z, 由于对于任何 e 都满足 x e-接近于 y, 那么取 e 可以是 z/2 ，这就要满足 z<=z/2, 得到 2<=1, 导致矛盾，|x-y| 只能取 0.

(b) 根据习题 4.3.3(f) 距离对称性 d(x,y)=d(y,x) 即可证。

(c) 如果 |x-y|<= ε, |y-z|<=δ，根据习题 4.3.3(g), |x-z| <= |x-y| + |y-z| 因此 d(x,z)<= (ε + δ)

(d) d(x+z,y+w)=|x+z-(y+w)|=|x-y+z-w|<=d(x,y)+d(z,w), 因此 x+z 和 y + w 是 (ε + δ)-接近的

d(x-z,y-w)=|x-z-(y-w)|=|x-y+w-z|<=d(x,y)+d(w,z), 根据 (b) 后者等于 d(x,y)+d(w,z)=ε + δ, 因此 x-z 和 y-w 是 (ε + δ)-接近的

(e) d(x,y)<=ε <ε’ , 因此 d(x,y)<= ε’。

(f) 以下证明 y <= w <= z 的情况，根据对称性 z<= w<= y 也可以被类似证明。

对 y <= w <= z 各个元素分别减去 x 得到 y-x <= w-x <= z-x

• 如果 x<=w, 那么 0<= w-x <= z-x, 因此 |w-x| <= |z-x|<=e, 有 d(w,x)<=e
• 如果 x>w, 那么 y-x <= w-x <0, 两边乘以 -1 有 x-y >= x-w >0, 因此 |x-y| >= |x-w|, 有 d(w,x)<=e

(g) d(x,y)=|x-y|<=e, 则 |z||x-y|<=e|z|, 根据习题 4.4.4(d) 以及 z 为正的性质， |z||x-y| = |zx-zy|<=e|z|, 因此 xz 和 yz 是 e|z| 接近的

(h) 书本上已证明

(a)

1. x**nx**m = x**(n+m), 对 n 进行归纳证明：

   • n=0 时， x**0x**m=x**m=x**(0+m)
   • 当归纳假设成立时，要证明 x**(n++)x**m= x**((n++)+m),

   左边根据定义等于 x**nxx**m, 根据归纳假设它等于 x**(n+m)x

   右边等于 x**((n+m)++)=x**(n+m)x, 因此与左边相等

   (x**n)**m = x**(nm)，(xy)**n = x**ny**n。

2. (x**n)**m = x**(nm), 对 m 进行归纳证明：

   • m=0 时， 左右都是 x**0
   • 当归纳假设成立时，要证明 (x**n)**(m++) = x**(n(m++))

   左边等于 (x**nx**m)(x**n), 根据归纳假设它等于 x**(n+m)x**n

   右边等于 x**(nm+n), 根据 1 中的证明等于 x**(nm)x**n, 因此两边相等

3. (xy)**n = x**ny**n, 对 n 进行归纳

   • n=0 时， 左右两边都是 1
   • 当归纳假设成立时，要证明 (xy)**(n++)= x**(n++)y**(n++),

   左边根据定义等于 (xy)**n xy, 根据归纳假设它等于 x**n y**n xy

   右边等于 x**nxy**ny, 因此等于左边

(b) 假设 n > 0，那么 x**n = 0 当且仅当 x = 0。

根据定义： x**n=x**(n-1)x, x=0 时该式子为 0. 反过来，对 n 进行归纳：

• n=1 时， 如果 x**n=x**1=x*1=x, 如果它等于 0, x=0
• 如果 x**n=0 能推出 x=0, 那么 x**(n++)=x**(n)x=0 时，由整数 ab=0 那么 a=0,b=0 的性质可以扩招到自然数也是如此，因此要么 x**(n)=0, 要么 x=0, 这都导向了 x=0

(c)

• 如果 x >= y >= 0，那么 x**n >= y**n >= 0。

根据归纳法：

• n=0 时， x**0=1,y**0=1, 因此命题成立
• 而 x**(n+1)=x(x**n), 在归纳假设成立情况下，并且结合正的乘法保序性（以及0 的性质）： x(x**n)>=x(y**n), 归纳假设里也蕴含了 y**n>= 0, 因此继续根据保序性， x(y**n)>=y(y**n), 因此 x**n >= y**n >= 0。
• 如果 x > y >= 0 并且 n > 0，那么 x**n > y**n >= 0。

仍然是归纳法，但从 1 开始：

• n=1 时， x**1=x,y**=y, 因此命题成立
• x**(n+1)=x(x**n), 在归纳假设成立情况下，并且结合正的乘法保序性（不考虑0）： x(x**n)>x(y**n), 归纳假设里也蕴含了 y**n>= 0, 因此继续根据保序性（以及0d 的性质）， x(y**n)>=y(y**n), 因此 x**n > y**n >= 0。

(d) 对 n 归纳：

• n =0 时， |x**0|=1 =|x|**0。
• 归纳假设成立情况下， |x**(n++)|=|x**(n)x|, 根据 命题 4.3.3(d) 后者等于 |x**(n)||x|=|x|**n|x|=|x|**(n++)

整数本身由于负数和自然数构成，自然数部分已经在命题 4.3.10 证明，这里只讨论负数部分，将 n,m 记为 -a,-b, 其中 a 和 b 都是正自然数。

(a) (x**n)x**m = x**(n+m)，(x**n)**m = x**(nm)，(xy)**n = (x**n)y**n。

1. 证明 (x**(-a))x**(-b) = x**(-a-b)
   • 根据有理数乘法，左边 = 1/((x**a)(x**b)),
   • 根据自然数幂性质，左边 = 1/(x**(a+b))
   • 根据定义，右边 = 1/(x**(a+b))
   • 因此等式左右对象相等
2. (x**(-a))**(-b) = x**(ab)，
   • 根据负整数指数定义，左边 = 1/((1/x**a)**b)
   • 根据商性质，左边 = (x**a)**b
   • 根据自然数指数性质，左边 = x**(ab) = 右边
3. (xy)**(-a) = (x**(-a))(y**(-a))。
   • 根据负整数指数定义，左边 = 1/((xy)**a)
   • 根据自然数指数性质，左边 = 1/((x**a)(y**a))
   • 根据有理数乘法，左边 = (1/(x**a))(1/(y**a))
   • 根据负指数性质，左边 = (x**(-a))(y**(-a)) = 右边

(b) 如果 x >= y > 0，那么当 n 为正数时有 x**n >= y**n > 0。当 n 为负数时，有 0<x**n<=y**n

• 当 n 为正数时，已经在命题 4.3.10 中证明

• 当 n 为负数时，写成 -a, 要证明 0<x**(-a)<=y**(-a).

  首先证明它们都大于 0, 因为 x>0, 因此 x**(-a)=1/(x**a), 根据命题 4.3.10(c), x**a>0, 根据有理数性质 1/(x**a)>0, 对于 y 是一样的。

  接着证明 1/(x**a)<=1/(y**a), 同样根据 根据命题 4.3.10(c), 分母部分满足 (x**a)>=(y**a), 根据有理数序的定义，如果 0<c<=d, 那么 1/c-1/d=(d-c)/cd, 分子是非负的，分母为正，因此 1/c>=1/d

  于是有 1/(x**a)<=1/(y**a), 即 x**(-a)<=y**(-a).

(c) 如果 x,y>0, n!=0, 并且 x**n = y**n, 那么 x=y.

• n 为正时，如果 x**n=y**n, 用反证法， 如果 x!=y, 那么三歧性，要么 x>y, 要么 x<y, 无论哪种情况，根据命题 4.3.10(c), 都无法得到 x**n=y**n, 与前提矛盾。
• n 为负时，记为 n=-a，如果 x**(-a)=y**(-a), 那么 1/(x**a)=1/(y**a), 根据有理数相等性质，x**a=y**a, 根据 n 为正的时的结论， x=y.

(d) |x**n| = |x|**n。

• n 非负时 命题 4.3.10(d) 已证明
• n 为负时 n=-a:
  • 左边等于 |1/(x**a)|, 根据 (a) 中 (xy)**n=(x**n)(y**n), 把其中 y 替换为 1/x, n 替换为 a, 那么 (x*1/x)**n=(x**a)(1/x)**a=1, 也就是 1/(x**a)=(1/x)**a, 因此左边 = |(1/x)**a|=|1/x|**a
  • 右边=1/|x|**a
  • 为了证明左边等于右边，需要先证明 |1/x|=1/|x|, 情况讨论，x 无论正负， 等式都成立。
  • 因此左边 = |1/x|**a = (1/|x|)**a=1/|x|**a, 后一个等式成立还是因为 (a) 中的 (xy)**n=(x**n)(y**n)

• N=1 时，能够推导出 2>1 成立
• N>1 时： 归纳假设成立情况下 2**(N++)=2**(N)>2N>N+1, 因为 N>1

实际对所有 N 都成立：

• 当 N < 0 时，N 可以写成 -m, m 是正自然数，而根据定义 2**(-m)=1/(2**m)>0, 因此 2**N > N
• N=0, 则 1>0 成立

• 如果 x 为 0, 那么 n =0
• 如果 x 为正, 那么它可以写成两个自然数的形式商，a//b, 命题 2.3.9 指出，任意自然数 a 可以写成 cb+r 形式，其中 0<=r<q, 因此这里选择 n = c, 因为 cb+r//b>=cb//b, 同时 cb_r//b<=(cb+b)//b 。
• 如果 x 为负, 可以先得到 n<=-x<=n+1, 然后根据序的性质，取反后 -n-1<=x<=-n 而 -n-1 和 n 满足命题里所描述的关系。

如果对任意自然数 n, a[n]>a[n+1], 那么称为 a[0],a[1],… 这个无限序列是无穷递降的

(a) 不存在无穷递降的自然数列

(b) 存在无穷递降整数和正有理数序列

.

(a): 如果存在某个无穷递降的自然数序列，那么可以用归纳法证明，对任意自然数 k, 序列中所有元素都大于或等于 k

• k=0 时， a[n]>=0 对任意 n 恒成立，因为所有自然数都是大于等于 0
• 现假设，序列中所有元素都大于等于 k，那么选择任意 n ，有 a[n]>a[n++]>=k, 这意味着 a[n]>=k++
• 因此对所有自然数 k 和 n, a[n]>=k, 但 a[0] 是一个自然数，所以 a[1]>=a[0] 也成立，与递降序列定义矛盾

(b):

• 存在无穷递降整数序列，可以取 a[n+1]=a[n]-1
• 存在无穷递降有理数序列，可以取 a[n+1]=a[n]/2

这里只证明文中提到为什么的部分：

• 如果存在一个自然数 k 使得 p = 2k，那么我们定义自然数 p 是偶数； 如果存在一个自然数 k 使得 p = 2k + 1，那么我们定义自然数 p 是奇数。

  为什么自然数要么是偶数要么是奇数？

  • 首先，1 无法写成 2k, 因为如果 1=2k, 即 1=k+k, k 是自然数，那么 1>=k, 而满足这个关系的只有 0 和 1, 将二者代入都无法成立。
  • 如果某个数既是奇数又是偶数，那么它可以写成 2k, 也可以写成 2p+1, 那么 2k=2p+1 这时候 1=2k-2p=2(k-p), 这样 1 就是偶数，与上一条证明结论矛盾。
• 如果 p 是奇数，为什么 p**2 也是奇数
  • 因为 p=2k+1, 按照习题 2.3.4 平方定义和展开公式，p**2=4k**k+4k+1, 而 4k**k+4k 是自然数，因此 p**2 是奇数
• 如果 \( p^{2}=2q^{2} \), 那么 q<p
  • 如果 p=q, 那么会得到 p=0, 但与 p 为正的前提矛盾
  • 如果 p<q, 那么存在正自然数 k 使得 q=p+k, 代入后展开会得到 p**2+4pk+2k**2=0 与 p,k 都为正矛盾。

柯西序列是有界的

思路书本已经给出，对于柯西序列 a[1:], 由于它对任意 e 都是 e-稳定的，因此它是 1-稳定的， 即存在一个 N 使得所有 i,j>=N 都满足 d(a[i],a[j])<=1, 那么这意味着，所有 a[i] 都在 a[N]-1 和 a[N]+1 之间，因此所有 |a[i]|<=a[N]+1。 而对于小于 N 的部分 a[1:N+1] 是一个有限的序列，用归纳法可以证明有限序列都是有界的，因此存在一个 M 使得所有 |a[i]|<=M 其中 i<=N

取 M' 为 max(a[N]+1, M), 可以知道 a[1:] 是以 M' 为界的。

如果 a[1:] 和 b[1:] 等价，那么 a[1:] 是柯西序列等价于 b[1:] 是柯西序列

这里是一个距离传递的问题，如果 a b 两个序列很接近， a 又是最终平稳，那么 b 也会最终平稳。

a[1:] 是柯西序列可以写成：

A(e)E(N)[A(i,j)[(i>=N&j>=N)->d(a[i],a[j])<e]]

证明过程中想把以上的 a 替换成 b:

A(e)E(N)[A(i,j)[(i>=N&j>=N)->d(b[i],b[j])<e]]

即要证明，给定任何 e, 存在一个 N>=1, 使得 d(b[i],b[j])<e 对所有 i,j>=N 成立。

先假定结论中需要的部分前提命题，比如，"给定任何 e" ，然后在这个前提下，去找一些子规则，比如：

• 由于 a 是柯西序列，那么存在一个 N'>=1, 使得 d(a[i],a[j])<e/3 对所有 i,j>=N' 均成立。
• 由于 a[1:] 和 b[1:] 等价，存在 M'>=1, 使得 d(a[i],b[i])<e/3 对所有 i,j>=M' 均成立。

以上两句话里的 i,j 都是不同的，它们分别是在 N', M' 的语境下的任意 i,j, 因此要去统一这两组不同的 i,j:

• 取 M=max(M',N'), 那么对任意 i,j>=M, 满足 d(a[i],b[i])+d(a[i],a[j])<2e/3
• 根据命题 4.3.3(g) 距离的三角不等式，能证明 d(a[j],b[i])<=2e/3

但最终要证明的是 d(b[i], b[j])<e:

• 根据命题 4.3.3(g) 距离的三角不等式，有 d(b[i],b[j])<=d(b[i],a[i])+d(a[i],b[j])<=e/3+2e/3=e, 于是希望的结果： d(b[i],b[j])<=e 就出现了。

为什么要选择 e/3? 这完全是先尝试然后凑出来然后设计的。

a[1:] 和 b[1:] 是最终 e 接近的，那么 a[1:] 有界等价于 b[1:] 有界

本题中 a,b 可以不是柯西序列，比如 a,b 都是 1 和 -1 交替的序列。

如果 a[1:] 有界，那么对任意 i>=1, |a[i]|<=M, 由于 a,b 是最终 e 接近，因此存在一个 N 使得 j>=N 时，d(a[j],b[j])<=e, 用类似引理 5.1.15 的证明，对 b[N:] 部分，任意 |b[j]|<=M+e, 而对于 b[1:N+1] 它是有限、有界的，因此 b[1:] 是有界的。

如果有理数序列 a[0:] 是有界的，且 a[0:] 等价于 b[0:], 证明 b[0:] 有界。

a[0:] 和 b[0:] 等价，意味着任意有理数 e>0 下两者都是最终 e 接近，取 e=1, a[0:] 和 b[0:] 就是最终 1 接近的，根据习题 5.2.2, a[0:] 有界意味着 b[0:] 有界。

• 自反性： LIM_a[1:]=LIM_a[1:] 根据定义等价于柯西序列 a[1:] 和 a[1:] 等价，这是合理的，因为序列与自身的都是稳定 0-接近的。
• 对称性： x=y 等价于 y=x, 这可以规约到命题 4.3.7(b) 中 e-接近性的对称性。
• 传递性： x 和 y 等价，那么对于任意 e, 它们是最终 e/2 接近，同理 y 和 z 也是最终 e/2 接近，根据命题 4.3.7(c), x 和 z 是最终 e-接近

设 x 是一个不为零的实数，那么存在某个远离 0 的柯西序列 a[1:] 使得 x=LIM_a[1:]

这里基本是对 e-N 语言否定形式的一种练习，由于 x!=0, 因此可以找到一个 e>0 使得对于任何自然数 N, 都存在一个大于 N 的自然数，满足 |a[i]-0|>e 对所有 i>N 均成立。但由于 x 是柯西序列，那么对于 e/2, 存在一个自然数 M, 满足 |a[i]-a[j]|<e/2 对任何 i,j>M 都成立，而这种情况下 |a[i]|>e 仍然成立， 根据三角不等式有 |a[j]|+|a[i]-a[j]|>|a[i]|, 因此 |a[j]|>|a[i]| + (-|a[i]-a[j]|)>e/2, 这说明存在 e/2 以及某个 N 使得 |a[n]|>=e/2 对一切 n>N 都成立。

以上证明的是 x 存在一个最终远离 0 的序列表征，为了得到“全”远离 0 的序列, 可以把 i<N 下的 a[i] 全部设置为一个正数（比如 1），由于实数只关系柯西序列里“足够远“的部分，因此处理后的 a[1:] 仍然等价于这个最终远离 0 的序列，也就是 x.

• 三歧性证明： 先证明三者不能共存：

  • 如果 x 是 0 ，那么 x 等价于一个全是有理数 0 的柯西序列，对任意 e>0, 存在自然数 N 使得 |x[i]|<e 对所有 i>N 都成立, 如果它是远离 0 的，那么存在一个正有理数 c, 满足 |x[i]|>c, 但将 e 取 c/2 就会导致矛盾。因此 x 是 0 时，正远离 0 或负远离 0 都不成立。
  • 如果 x 是正远离 0 ，根据定义，存在一个柯西序列，每个 i 都满足 x[i]>c>0, 现假设同时存在一个与之等价的柯西序列 y，对每个 i 都满足 y[i]<-d, 其中 d 是正有理数，那么这两个序列的每个 i 都满足 d(x[i],y[i])>d+c, 因此 x 和 y 就不是 (d+c)/2 稳定的，这与它们等价是矛盾的。所以 x 不会是负远离 0 的。
  • 同理，x 是负远离 0 时 x 不可能是正远离 0

  以上证明了三者最多有一个命题成立。接着证明至少有一个命题成立：

  • 如果实数 x 不等于 0, 那么根据引理 5.3.14, 它等价于某个远离 0 的柯西序列的形式极限。

  • 接着证明，远离 0 的柯西序列要么是正远离 0 要么是负远离 0.

    远离 0 的柯西序列 b[1:] 满足 |b[n]| > e/2 对所有的 n >= N 均成立。因此只需要继续证明，对于所有 n>=N, b[n]>e/2 恒成立或者 b[n]<-e/2 恒成立，而不能有些大于 e/2, 有些则小于 -e/2, 因为这样的话，对于任意 e, 就存在 i,j>N, 满足 |a[i]-a[j]|>e, 这与柯西序列性质矛盾。

  • 所以不等于 0 的实数 x 对应的序列要么是正远离 0 要么是负远离 0.
• 如果实数 x 是负的，那么 a[i]<=-c 对所有 i>=1 都成立，c 是大于 0 有理数，根据有理数乘法性质，两边乘以 -1, -a[i]>=c, 因此得到的序列是正远离 0 的，因此 -x 为正。反过来同理。
• 如果实数 x,y 都是正，那么 x+y 就是 x[i]+y[i] 构成的序列，它们都大于等于 c1+c2, c1,c2 分别是 x,y 远离 0 的阈值。因此 x+y 也是正。 xy 是 x[i]y[i] 构成的序列，根据有理数乘法性质，它们都大于等于 c1y>=c1c2, 因此 xy 为正。

基本依赖命题 5.4.4

(a) （序的三歧性）x-y 根据定义是柯西序列，根据上一节实数三歧性，它有 =0,>0,<0 三种状态，根据序的定义，就说明了以上三个命题恰有一个为真。 (b) （序是反对称的） x<y 意味着 x-y 是负的，根据习题 5.4.3 那么 -(x-y) 就是正的，根据负实数的定义，它等于 y-x, 因此 y>x (c) （序是可传递的）x<y, y<z 意味着 y=x+m , z-y=n, 其中 m,n 都是正实数 那么 z-(x+m)=n, z=x+m+n, m+n 为正实数，因此 z>x, 根据 (b) x<z (d) （加法保持序不变） x<y 意味着 y-x 是正的，那么 y+z-x-z 是正的, 因此 x+z<y+z (e) （正的乘法保持序不变）书本证明

如果 a[1:], b[1:] 是有理数柯西序列，满足 a[i]>=b[i] 对所有 i 都成立，那么 LIM_a[1:]>=LIM_b[1:]

对于每一个实数 x，恰好存在一个整数 N 使得 N <= x < N + 1（这个整数 N 被称为 x 的整数部分，并记作 N = [x]）。

这是一个存在性证明，并且有唯一性，先考虑 x=0, 那么可以找到 N=0 是满足不等式的，再证明 x=0 时 N 的唯一性，如果 N<=0<N+1, 且 N>0, 则 0<N<=0 推出 0<0 的矛盾，如果 N<0, 那么 N<=-1, 会得到 0<N+1<=0 的矛盾。于是这种情况下只有 N=0 是满足。

接着证明 x>0 的情况（x<0 时可以用不等式性质证明），先用反证法证明存在性，假设对某个实数 x ，所有整数 N 都不满足 N<=x<N+1, 这意味着 x>=N 时，x>=N+1 一定成立，由于 x>0, 那么 x>=0, 因此 x>=1, 根据归纳法可以知道对所有 N, x>=N, 这违反了实数有界的性质，导致矛盾，因此一定存在整数 N, 使得 N<=x<N+1.

接着证明 N 的唯一性，如果有另一个整数 M!=N 但满足 M<=x<M+1, 如果 M>N, 那么 M>=N+1, 那么 x>=N+1>x, 得到 x>x 的矛盾，同理，如果 M<N, 那么 M+1<=N, 也会得到 x<x 的矛盾，因此 N 是唯一的。

对任意的正实数 x > 0，存在一个正整数 N 使得 x > 1/N > 0。

根据阿基米德性质，1 和 x 都是正实数，那么存在 N 使得 Nx>1, 两边乘以正数 1/N 即得证。

用阿基米德性质证明两个实数 x < y，能够找到一个有理数 q 使得 x < q < y。

这里的思路是，我们不知道 x 和 y 之间"间隔" 是多大，但根据阿基米德性质，可以用整数去放大它们之间的间隔，即 y-x 是正数，那么根据习题 5.4.4, 存在 N 使得 y-x>1/N>0, 也就是 Ny-Nx>1,

这时候间隔足够大，大到比相邻两个整数间隔还大，因此 Nx 和 Ny 之间可以容得下一个整数 M， 然后全部除以 N 回到原始的尺度，得到的有理数就是满足 x<M/N<y ，而 M/N 是要找到有理数 q。

因此这里要构造 M=Nq, 而习题 5.4.3 证明任何实数 Nx 都可以找到整数 a 使得 a<=Nx<a+1，根据 Ny-Nx>1 又得到 Ny>Nx+1, 从而有 Ny>a+1 。这样就得到 Nx<a+1<Ny, a+1 就是要找的 Nq, 最终的有理数为 q=(a+1)/N

设 x、y 是实数，并且 ε > 0 是一个正实数，证明：|x−y| < ε 当且仅当 y−ε < x < y+ε， 以及 |x − y|<=ε 当且仅当 y − ε <= x <= y + ε。

之前我们都是将 e 看作足够小的正有理数，这里证明的是实数。

• x-y 如果大于或等于 0, 那么 |x-y|=x-y<e 等价于 x<y+e

  x-y 如果小于 0, 那么 |x-y|=-(x-y)=(y-x)<e 等价于 x>y-e

• 反过来， y−e < x < y+e , 根据 命题 5.4.7, 两边加上实数 -y 得到： e>x-y>-e:
  • 当 x-y>0, |x-y|=x-y<e,
  • 当 x-y<0, 因为 x-y>-e 所以 x-y+e>0, 两边乘以 -1, 根据命题 5.4.4, -(x-y+e)<0 ，根据命题 5.3.11, y-x-e<0, 继而得到 0<y-x<e. 因此 |y-x|=y-x<e.

<= 的证明方法类似。

设 x 和 y 是实数：

• x <= y + ε 对所有的实数 ε > 0 均成立，当且仅当 x <= y。
  • 从右到左：如果 x<=y, 那么 x-y<=0<=e, 因此 x<=y+e 多所有实数 e>0 都成立
  • 从左到右：x<=y+e 对所有实数 e>0 都成立，假设 x>y, 那么 x-y=a 是一个正实数，这时候可以选择 e=a/2, 由于 x-y 可以小于等于任意正实数，因此 x-y=a<=a/2, 导致了矛盾。
• |x − y| <= ε 对所有的实数 ε > 0 均成立，当且仅当 x = y。
  • 从右到左：如果 x=y, 那么 x-y =0, 对任意实数 e>0, 都满足 0<=e.
  • 从左到右： |x − y| <= e, 如果 x!=y, 那么：
    • x-y>0 时，x-y<=e, 可以用与上一个证明相同的方式假设 x-y 是一个固定值，结果导出矛盾
    • x-y<0 时，x-y>=-e, 两边乘以 -1, y-x<=e, 同样假设 y-x=a, a 为正实数，导出矛盾。

设 a[1:] 是有理数的一个柯西序列，并且设 x 是实数。

证明：如果 a[n] <= x 对所有的 n >= 1 均成立，那么 LIM_a[1:] <= x。

类似地，证明：如果 a[n] > x 对所有的 n > 1 均成立，那么 LIM_a[1:] > x。

.

证明：如果 a[n] <= x 对所有的 n >= 1 均成立，那么 LIM_a[1:] <= x。

假设 x 对应了某个柯西序列 x[1:], a[n] <= x 对所有的 n >= 1 均成立意味着对于每个 a[n], 存在一个与 x[1:] 等价的柯西序列，它的每一项都 大于等于 a[n], 这里要证明的是，把 a[n] 组成一个序列后，仍然能找到一个与 x[1:] 等价的柯西序列满足形式极限之间的不等式关系（有点对角线法的感觉）

• 用反证法： 如果 LIM_a[1:]>x, 那么根据命题 5.4.14, 存在一个有理数 q, 满足 x<LIM_q<LIM_a[1:]
• q 组成的柯西序列形式极限是一个实数 LIM_q，由于 x>=a[n] 对每个 n>=1 都成立， 因此对任意 i, 有 LIM_q>x>=LIM_a[i], 根据传递性有： LIM_q>=LIM_a[i], 这意味着对任意 i, q>=a[i]
• 根据推论 5.4.10, LIM_q>=LIM_a[1:], 这与 x<LIM_q<LIM_a[1:] 矛盾

类似地，证明：如果 a[n] > x 对所有的 n > 1 均成立，那么 LIM_a[1:] > x。

反证法：假设 LIM_a[1:] <= x, 这时要考虑两种情况

• LIM_a[1:] < x 时, 用类似上一小题的方式可以证明。

• LIM_a[1:] = x ，那么 x 对应一个柯西序列 x[1:], 对任何有理数 e>0, 存在 N>=1, 使得 |x[i]-a[i]|<e 对所有 i>=N 均成立。

  而 a[n]>x 对任意 n 都成立，那么选择 n=i, 那么 x 对应着另外一个柯西序列 b[1:], 其中存在 N 使得 a[i]-b[j]>=c 对所有 j>=N 均成立，c 是某个固定正有理数。|a[i]-b[j]|>=c 自然也成立。

  根据三角不等式， |x+y|-|x|<=|y| 有 c-e <=|x[i]-a[i]|-|b[j]-a[i]|<=|x[i]-b[j]|, 这表明 x[1:] 和 b[1:] 不等价，因此矛盾。

设 E 是实数集 R 的一个子集，并且假设 E 的最小上界是实数 M，即 M = sup(E)。设 -E 表示集合 -E := {-x : x ∈ E} 证明：-M 是 -E 的最大下界，即 -M = inf(-E)。

• 证明 -M 是 -E 的下界，由于 M 是 E 的上界，因此任何 E 中元素 x 满足 M>=x, 那么 -M<=-x, 因此 -M 是下界
• 证明 -M 是最大的下界： 对于任何小于 -M 的实数 y, y<-M, 那么 -y>M, 由于 M 是 E 的上确界，因此 -y 大于任何 E 中的元素 x，这意味着 y<-x, 因此 y 是 -E 的下界。

设 E 是 R 的一个非空子集，n > 1 是一个整数，并且设 L < K 是两个整数。假 设 K/n 是 E 的一个上界，但是 L/n 不是 E 的上界。证明：存在一个整数 L < m <= K 使得 m/n 是 E 的一个上界，但 (m − 1)/n 不是 E 的上界。

用反证法，该结论的否定命题是：所有在 L 和 K 之间的整数 m (L<m<=K) ，如果 m/n 是 E 的上界那么 (m-1)/n 也是 E 的上界（“E(x)P(x)&P(y)”命题的否定会变成 "A(x)(P(x)->~Q(x))"）。由于 m<=K, 且 K/n 是 E 的上界，这说明 (K-1)/n 也是 E 的上界，如此归纳，能得到 (L+1)/n 也是 E 的上界，从而 L/n 也是 E 的上界，这就导致了矛盾。

设 E 是 R 的一个非空子集，n > 1 是一个整数，并且设 m、m' 是具有下述性质的 整数：m/n 和 m'/n 都是 E 的上界，但 (m − 1)/n 和 (m' − 1)/n 都不是 E 的上界。 证明：m = m'。这说明在习题 5.5.2 中构造的整数 m 是唯一的。

假设 m!=m', 考虑两种情况：

• m'<m, 那么 m'<=m-1, 由于 (m-1)/n 不是 E 的上界，那么 E 中存在元素 x 满足 x>(m-1)/n>m'/n, 这与 m'/n 是上界矛盾。
• m'>m, 由于 m 和 m' 对称，方法证明和以上一样。

原因是整数的距离最小就是 1, 而 m-1 部分在上确界的左边， m 部分在上确界右边，这个 m 只要有任何变化，该区间就不框不住上确界了。

设 q[1], q[2], q[3],… 是一个有理数序列，记为 q[1:]，该序列满足：只要 M >= 1 是一个整数且 n, n' >= M，就有 |q[n] − q[n']|<=1/M。

证明： q[1:] 是一个柯西序列。

另外，若 S :=LIM_q[n]，证明：|q[M] −S|<=1/M 对每一个 M >1 均成立。

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• 先证明柯西序列：对于任何正有理数 e, 根据阿基米德性质，能找到一个 N 使得 Ne>1, 由于 i,j>=N 时， |q[i]-q[j]|<=1/N<e, 因此 q[1:] 是一个柯西序列。

• 再证明 |q[M] - S|<=1/M 对每一个 M >1 均成立。

  由于 M>=M, 因此对于所有 n>=M, 满足 |q[M]-q[n]|<=1/m, 也就是 q[n]<=q[M]+1/m 且 q[M]-1/m <= q[n]

  根据习题 5.4.8, 如果 q[n] <= q[M]+1/m 对所有的 n >= M 均成立，那么 LIM_q[M:] <= q[M]+1/m, 如果 q[M]-1/m <= q[n] 对所有 n>=M 均成立，那么 LIM_q[M:] >= q[M]-1/m, 而对于任意 M, LIM_q[M:] 和 LIM_q[1:] 都是等价的，也就是 S, 因此 q[M]+1/m>=S>=q[M]-1/m, 即 |q[M] - S|<=1/M 对每一个 M >1 均成立。

  这个性质有什么用？只是说 q[M] 和其极限的距离也控制在 1/M 内，即 q[n] 随着 n 增大逐渐接近序列极限，这是对“收敛”的一种表达。

将命题 5.4.14 中有理数替换为无理数：

给定任意两个实数 x < y，我们能够找到一个无理数 q 使得 x < q < y。

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同样我们不知道 x,y 之间的间隔多大，可以通过阿基米德性质去放大这个间隔，这不过这个时候间隔取为一个无理数，比如 \( \sqrt{2} \)

y-x 是正数根据阿基米德性质，存在 N 使得 y-x>sqrt(2)/N>0, 即 Ny-Nx>sqrt(2)

根据 习题 5.4.3 ，存在整数 M, 使得 M<=Nx<M+1 ，由于 sqrt(2)>1 ， 因此 M<=Nx<M+sqrt(2)，Ny-Nx>sqrt(2) 能够引出 Ny>Nx+sqrt(2), 继而 Ny>M+sqrt(2), 因此 Nx<M+sqrt(2)<Ny, 于是 x<(M+sqrt(2))/N<y, (M+sqrt(2))/N 就是要找的 q

设 x >= 0 是一个非负实数，且 n >= 1 是一个正整数，那么集合 E:={In(y, R) : y >= 0 且 y**n <= x} 是非空的并且是有上界的。特别地，x**(1/n) 是一个实数。

注意这里要证明什么？

• 非空： 0 在该集合中，因为 0 符合 0>=0 且 0**n =0 <=x
• 有上界

有了这两个条件，根据 定理 5.5.9, 那么它就有上确界，因为我们定义的是一个实数集合

(a) 如果 y = x**(1/n) ，那么 y**n = x。

模仿书本里对命题 5.5.12 的证明，如果 y = x**(1/n), 根据定义 y 是实数集合 S={z >= 0 且 z**n<=x} 的上确界。

用反证法，根据三歧性： y**n<x, y**n=x, y**n>x 只有一个命题成立，分别检查三种情况下 y 是否有可能是以上集合的上确界。

• 如果 y**n<x, 那么存在一个 e, 使得 (y+e)**n =y**n+eO, 这里 O 是关于 e 和 y 的多项式，只要 e 选择足够小，就可以使得 (y+e)**n<x. 那么集合中存在 y+e>y, 因此 y 不是上界，也就不是上确界。
• 如果 y**n>x, 那么同样可以找到足够小的 e, 使得 (y-e)**n=y-eO, 满足 (y-e)**x>x, 因此 y**n 不是最小上界。
• 于是只有 y**n=x 时，y 才是该集合的上确界，也就是 y=x**(1/n)

因此只有 y**n=x 不会导出矛盾。

(b) 反过来，如果 y**n = x，那么 y = x**(1/n) 。

如果 y**n=x, 证明 y 是 S={z >= 0 且 z**n<=x} 集合的上确界。 (a) 中最后一个情况已经证明了 y**n=x 是 S 的上确界，但这里还是列出标准的证明某个元素是上确界的思路：

先证明 y 是上界，再证明所有 S 的上界都大于或等于 y.

• 要证明 y 是 S 的上界，由于 S 中的元素 z 都满足 z**n<=x, 因此转而证明 z<=y:
  • 反证法，如果存在 S 中元素 z>y, 那么根据命题 5.6.3(c), 会得到 z**n>y**n, z 无法满足属于 S 集合的条件，导致了矛盾。
  • 因此 y 是上界。
• 要证明 y 是最小上界，就要证明，所有 S 的上界 u 都大于等于 y:
  • 在 (a) 的证明中已经知道，只有 u 满足 u**n>=x 才是 S 的上界。
  • 那么要证明 u>=y, 同样反证法，如果 u<y, 那么根据 根据命题 5.6.3(c), u**n<y**n<x, 和 u 是 S 上界矛盾。
• 因此 y 是最小上界

(c) x**(1/n) 是一个非负实数。

根据定义 y=x**(1/n) 是 S={z >= 0 且 z**n<=x} 集合的上确界：

• 首先证明 0 是其中的元素：
  • 它满足集合的第一个命题： 0>=0
  • 并且 0**n=0 在 n>=1 时成立, 可以通过归纳法证明，n=1 是 0**1=(0**0)*0=0, 而之后归纳假设成立情况下，任何更大的 n 都满足 0**n=0. 由于 x 是非负的，因此 0<=x 为真。
• 接着用反证法，如果 y<0, 那么由于 0 是 S 中元素，那么 y 不可能是上界，也就不可能是上确界，因此 x**(1/n) 是非负的。

(d) x>y ，当且仅当 x**(1/n) >y**(1/n)。

先证明从右到左边：

• 如果 x**(1/n) > y**(1/n), 根据命题 5.6.3(c), 那么 (x**(1/n))**n> (y**(1/n))**n
• 根据 (a), (x**(1/n))**n=x, (y**(1/n))**n=y, 于是 x>y

再证明从左到右边：

• 如果 x>y, 根据 (a), 这可以写成 (x**(1/n))**n > (y**(1/n))**n
• 反证法，如果 x**(1/n)<=y**(1/n), 那么根据命题 5.6.3(c), x<=y, 导致矛盾。

(e)

1. 如果 x> 1，那么 x**(1/k) 是关于 k 的一个减函数。

   减函数定义为，当对任何 a>b, x**(1/a)<x**(1/b)

   由于 (d) 中的等价性，相当于要证明 (x**(1/a))**(ab)<(x**(1/b))**ab

   根据命题 5.6.3(a) 中的性质，等价于证明：

   ((x**(1/a))**a)**b)<((x**(1/b))**b)**a

   根据 (a) 和 (b) 中证明的等价性，这相当于要证明：

   x**b<x**a

   a>b 等价于存在正自然数 c 满足 a=b+c, 因此这等价于证明：

   x**b<x**(b+c)=(x**b)(x**c); 这是根据命题 5.6.3(a)

   两边乘以 1/(x**b), 由于这是大于 0 的因此不改变不等式方向，于是等价于证明

   1<x**c

   因为 x>1, 根据命题 5.6.3(c), x**c>1**c=1 成立。

2. 如果 x < 1，那么 x**(1/k) 是关于k 的一个增函数。

   增函数定义为，当对任何 a>b, x**(1/a)>x**(1/b) 展开方式和第一小题一样，只不过最后要证明 x**c< 1.

   因为 x<1, 根据命题 5.6.3(c), x**c<1**c=1 成立。

3. 如果 x=1 ，那么对所有的 k 均有 x**(1/k)=1。

   根据 (a) 和 (b)， x**(1/k) = 1 等价于 x=1**k

   因为 x=1, 用归纳法可知 1**k=1

(f) (xy)**(1/n) = x**(1/n)y**(1/n)。

根据 (a) 和 (b)， (xy)**(1/n) = x**(1/n)y**(1/n) 等价于：

xy = (x**(1/n)y**(1/n))**n

根据命题 5.6.3(a), (x**(1/n)y**(1/n))**n = (x**(1/n))**n(y**(1/n))**n

再根据 (a)(b), 上式继续等于 xy.

因此等式左边等于右边

(g) (x**(1/n))**(1/m) = x**(1/nm)。

同样根据 (a),(b), 上式等价于 x**(1/n) = (x**(1/nm))**m。

再应用一次，等价于 x= (x**(1/nm))**(mn)=x

记 q = a/b, r=c/d, a,c 都是整数， b,d 是正整数 (a) x**q 是一个正实数。

x**q=(x**(1/b))**a, 根据引理 5.6.6(c), 如果 x 是非负实数，那么 x**(1/b) 是非负的，我们只需要进一步证明，x!=0 时，x**(1/b)!=0 。

反证法，如果x**(1/b)=0, 那么根据引理 5.6.6(c), 0**b=x=0, 与 x!=0 矛盾。 因此 x**q 不能是 0, 只能是一个正实数。

(b)

1. 证明： x**(q+r) = (x**q)(x**r)

左边 = x**(a/b+c/d)=(x**(1/(bd)))**(ad+bc), 根据命题 5.6.3(a):

左边 = (x**(1/(bd)))**(ad) (x**(1/(bd)))**(bc), 根据定义：

左边 = (x**(a/b)) (x**(c/d)) = (x**q)(x**r)

1. 证明： (x**q)**r = x**(qr)。

根据定义 x**(a/b)=(x**(1/b))**a, 我们先证明，如果 x>0, 那么 (x**(1/b))**a=(x**a)**(1/b), 也就是说，b 次根和 a 次方可以交换。

根据引理 5.6.6(a)(b), y=(x**a)**(1/b) 等价于 y**b=x**a

再根据命题 5.6.3(a) 和实数有理数幂定义： ((x**(1/b))**a)**b=x**(ab/b)=x**a

因此我们证明了正实数先求 b 次根再求 a 次方等价于先求 a 次方再求 b 次根。

回到原命题 左边 = (x**q)**r = (((x**(1/b))**a)**(1/d))**c, 我们可以知道，以上每个步骤的结果都是正的，因此可以把 a 交换到最外层，然后与 c 合并成 ac 得到： ((x**(1/b))**(1/d))**(ac),

而根据引理 5.6.6(g), 1/b 和 1/d 可以合并，得到：

((x**(1/bd))**(ac) = x**(ac/bd)=x**qr

(c) x**(-q) = (1/x)**q。

根据 (b), x**(-q)=(x**q)**(-1)=1/(x**q)

(d) 如果 q > 0，那么 x > y 当且仅当 x**q > y**q。

• 根据引理 5.6.6(c)(d), x>y 等价于 x**(1/b) >y**(1/b)>0, 根据命题 5.6.3(c), 这又能推出 (x**(1/b))**a > (y**(1/b))**a >0,

  如果 x**a > y**a >0, 用反证法可得 x>y, 所以逆向过程也成立。

(e) 如果 x > 1，那么 x**q > x**r 当且仅当 q > r。如果 x < 1，那么 x **q > x**r 当且仅当 q < r。

先把 q 和 r 的分母统一：

x**q=x**(ad/bd), x**r=x**(bc/bd)

设 y=x**(1/bd), 当 x>1 时，根据引理 5.6.6(d) y>1**(1/bd)=1.

同理如果 x<1 ，y<1. 因此本题转换为： y>1 时 y**a>y**b 当且仅当 a>b, 如果 x<1, 那么 y**a<y**b 当且仅当 a>b. 这里 a,b 都是整数。问题变成了实数的整数次幂的单调性。

• 证明 y>1 情况：
  • 如果 y**a>y**b, 用反证法：
    • 如果 a=b 那么 y**a=y**b, 与前提矛盾。
    • 如果 a<b, 那么 b=a+z, z 是正整数
      • y**b=(y**a)(y**z), 由于 y>1, 因此 y**z>1
      • 因此 y**b>y**a, 与前提矛盾
  • 如果 a>b, 同样写成 a=b+z, 可以证明 y**a>y**b
• 证明 y<1 情况：
  • 如果 y**a<y**b, 用反证法：
    • 如果 a=b 那么 y**a=y**b, 与前提矛盾。
    • 如果 a<b, 那么 b=a+z, z 是正整数
      • y**b=(y**a)(y**z), 由于 y<1, 因此 y**z<1
      • 因此 y**b<y**a, 与前提矛盾
  • 如果 a>b, 同样写成 a=b+z, 可以证明 y**a<y**b

如果 x 是一个实数，证明 |x| = (x**2)**(1/2)。

• x>0, 那么 |x|=x>0, 根据引理 5.6.9(b) (x**2)**(1/2)=x**1=x=|x|
• x=0, 那么根据定义可以得到 |x|=0=(x**2)**(1/2)。

• x<0, |x|=-x, 根据命题 5.6.3(d) |x**2|=|x|**2, 而根据实数定义，如果 x<0, 它有对应的负远离 0 的柯西序列，那么它可以写成 -z, z 对应了正远离 0 的柯西序列，因此 x**2=(-z)**2>0, 因此 |x**2|=x**2

  因此 x**2 可以写成 |x|**2, 记 y=(x**2)**(1/2), 根据引理 5.6.6(a), y**2=|x|**2, 根据命题 5.6.3(f), y=|x|

设 a[0:] 是一个实数序列，并且满足 a[n+1] > a[n] 对任意的自然数 n 均成立。要证明：只要 n 和 m 都是自然数且满足 m > n，那么 a[m] > a[n]。(我们把这种序列记作增序列)。

证明思路是，如果 m>n, 那么 m 应该等于 (((n+1)+1)+1)…+1, 而每个 +1 都包含一个大于关系，根据序的传递性就可以说明 a[m]>a[n], 不过这种嵌套了多个 +1 的写法可以用到数学归纳法来表达。于是对 m 进行归纳：

• m = 0 时，前提 0>a[n] 根据自然数性质为假，空推断成立
• 假设 m>n 时，a[m]>a[n] 已经成立, 那么要证明 m++>n 时， a[m++]>a[n] 。 因为前提给定对任意 m, a[m+1]>a[m], 因此 a[m++]>a[m]>a[n]

设 a[m:] 是一个实数序列，且 L 是一个实数。

证明：a[m:] 收敛于 L，当且仅当对于任意给定的实数 ε > 0，存在一个 N > m 使得 |a[n] − L| < ε 对所有的 n > N 均成立。

.

这是实际就是把收敛定义展开到最底层，根据定义 a[m:] 收敛于 L, 那么该序列与 L 最终 e-接近，意味着存在一个 N>m 使得所有 i>=N 的元素 a[i] 满足 |a[i]-L|<e, 这正是所要证明的。

设 a[m:] 是一个实数序列，c 是一个实数，且 m' > m 是一个整数。证明 a[m:] 收敛于 c 当且仅当 a[m':] 收敛于 c ，即 lim(a[m:])=lim(a[m':])

核心在于收敛是一个无穷远处的问题，因此初始选什么不重要。

• 从右到左： a[m':] 收敛由于 c, 根据定义 a[m':] 是最终 e-接近于 c 的，于是存在一个 N>=m' 使得 d(a[i],c)<=e 对所有 i>=N 均成立。由于 m'>m, 因此所有 i>=N>=m'>m, 这意味着存在一个 N>=m 使得 d(a[i],c)<=e 对所有 i>=N 均成立，也就是 a[m:] 收敛于 c.
• 从左到右边： a[m:] 收敛由于 c, 根据定义 a[m:] 是最终 e-接近于 c 的，于是存在一个 N>=m 使得 d(a[i],c)<=e 对所有 i>=N 均成立。由于 m'>m,
  • N>=m': 这直接可以导出 a[m':] 收敛于 c 的描述。
  • N<m' : 由于所有 i>=N 的场景，d(a[i],c)<=e 都满足，那么我们可以选择到一个 N'>=m', 使得所有 i>=N' 的情况 d(a[i],c)<=e 仍然满足。这正式 a[m':] 收敛于 c 的定义。

设 a[m:] 是一个实数序列，c 是一个实数，且 k >= 0 是一个非负整数。

证明：a[m:] 收敛于 c，当且仅当 a[m+k:] 收敛于 c。

本题和书本用的记号不同，但本质上还是在做初始下标的偏移。

由于 m+k>m, 因此根据系统 6.1.3 直接可以证明。

假设 a[m:] 收敛由于 c, 根据定义 a[m:] 是最终 e-接近于 c 的，也是最终 e/2 接近于 c 的，于是存在一个 N>=m 使得 d(a[i],c)<=e/2, d(a[j],c)<=e/2 对所有 i,j>=N 均成立。

那么根据三角不等式，d(a[i],d[j])<=d(a[i],c)+d(a[j],c)=e, 而这是柯西序列的定义。

设 a[m:] 是一个有理数的柯西序列，并且记 L := LIM_a[m:]，证明 a[m:] 收敛于 L。

用反证法，假设序列 a[m:] 收敛于 L 的，即存在一个 e>0 使得 a[m:] 不是最终 e-接近于 L。固定这个 e, 由于 a[m:] 是柯西序列，存在一个 N>=m, 使得 d(a[i],a[j])<e/2 对所有 i,j>=N 均成立，但由于 a[m:] 不会最终 e-接近 L, 因此其中存在 i, 满足 d(a[i], L)>e 对所有 j>=N 都成立，这会导致两种情况：

• a[i]>L+e: 有 a[j]>L+e/2 对所有 j>=k 均成立，根据习题 5.4.8, LIM_a[k:] > L+e/2, 与 L 定义不符合。
• a[i]<L-e: 有 a[j]<L-e/2 对所有 j>=k 均成立，，根据习题 5.4.8, LIM_a[k:] < L-e/2, 于 L 定义不符合。

模仿书本中对命题 6.1.4 的证明：

• 首先证明有理数有界的定义可以改写成实数有界的定义：如果 a[m:] 是有理数序列且以有理数 M 为界，那么由于有理数 q 和实数 LIM_q 是相等的，因此可以把 a[m:] 和 M 都认为是实数。
• 再证明实数序列有界的定义，这时候由于不是所有实数都可以映射到有理数， 我们就不能精确地把序列里的对象转成有理数了，而需要考虑更宽泛的缩放，假设实数序列 a[m:] 以实数 M 为界，根据命题 5.4.14, 存在一个有理数 q 使得 M<q, 因此这和定义 5.1.12 有理数做为界定义是一致的。

也就是说如果序列有实数界，那么就有有理数界，反之亦然。

(a) 序列 (a+b)[m:] 收敛于 x+y

给定任意固定值 e 的情况下，根据收敛定义：

• 存在一个 N>=m 使得 d(a[i],x)<=e/2 对任意 i>=N 均成立。
• 存在一个 M>=m 使得 d(b[i],x)<=e/2 对任意 i>=M 均成立。
• 假设 N'=max(M,N), 那么 i>=N' 时，d(a[i],x)<=e/2 和 d(b[i],x)<=e/2 均成立
• 根据 命题 4.3.7(d) 在实数上的扩展性质，可以知道 d(a[i]+b[j], x+y)<=e 成立

因此 (a+b)[m:] 收敛于 x+y

(b) 序列 (ab)[m:] 收敛于 xy

给定任意固定值 e 的情况下：

如果 0<e<=2|x||y| 根据收敛定义：

• 存在一个 N>=m 使得 d(a[i],x)<=e/(4|y|) 对任意 i>=N 均成立。
• 存在一个 M>=m 使得 d(b[i],x)<= d(b[i],y)<=e/(4|x|) 对任意 i>=M 均成立。
• 假设 N'=max(M,N), 那么 i>=N' 时，d(a[i],x)<=e/(4|y|) 和 d(b[i],x)<=e/(4|x|) 均成立
• 根据 命题 4.3.7(h) 在实数上的扩展性质，可以知道 d(a[i]d[j], xy)<=((e/4|y|)|y| + (e/4|x|)|x| + e**2/(16|x||y|))<=(e/2+e/4)<=3e/4<=e, 因此 (ab)[m:] 收敛于 xy

如果 e>2|x||y| 根据收敛定义：

• 存在一个 N>=m 使得 d(a[i],x)<=|x|/2 对任意 i>=N 均成立。
• 存在一个 M>=m 使得 d(b[i],x)<= d(b[i],y)<=|y|/2 对任意 i>=M 均成立。
• 假设 N'=max(M,N), 那么 i>=N' 时，d(a[i],x)<=|x|/2 和 d(b[i],x)<=|y|/2 均成立
• 根据 命题 4.3.7(h) 在实数上的扩展性质，可以知道 d(a[i]d[j], xy)<=(|x||y|/2+|y||x|/2 + |x||y|/4)<=5|x||y|/4<=e, 因此 (ab)[m:] 收敛于 xy
• 因此给定任意 e, (ab)[m:] 与 xy 都是最终 e-接近，因此 (ab)[m:] 收敛于 xy

(c) 对于任意的实数 c，序列 ca[m:] 收敛于 cx。

• 假设实数序列 c[m:] 中每个元素 c[i]=c, 那么 c[m:]a[m:] 和 ca[m:] 是相同的
• 根据 (b) 由于序列 c[m:]a[m:] 收敛于 (lim(c))x ，而 lim(c) 和 c 是 0-接近的，因此 lim(c)=c, 于是序列 c[m:]a[m:] 收敛于 cx, 也就是 ca[m:] 收敛于 c

(d) 序列 (a-b)[m:] 收敛于 x-y 。

• 将 c 取为 -1, 根据 (c) 可知 -b[m:] 收敛于 -y
• 根据 (a) 可知 (a-b)[m:] 收敛于 x-y 。

(e) 假设 y != 0，且对于所有的 n >= m 都有 b[n] != 0，那么序列 (1/b)[n:] 收敛于 1/y.

先需要证明一个辅助的结果：如果一个序列的所有元素都不为零，并且该序列收敛于一个非零极限， 那么这个序列是远离 0 的。

• 我们要证明，存在一个正实数 c, 使得序列 |a[i]|>c 对任何 i>m 都成立
• 反证法，如果不存在一个 c, 满足 |a[i]|>c 对任何 i>m 都成立。
• 由于 a[m:] 收敛于非 0 实数 L, 那么这意味着，对于任意给定的 e:
  • 收敛序列都是柯西序列，于是存在 M>=m, 使得 d(a[i],a[j])<e/2 对所有 i>=M 均成立。
  • 由于反证的假设，存在一个 n0>=M, 满足 d(a[n0],0)<=e/2
  • 但 d(a[n0],a[j])<e/2 对所有 i>=n0 仍然成立
  • 根据三角不等式， d(a[j],0)<e 对所有 j>=n0 恒成立，这与 a[m:] 收敛于非 0 实数矛盾
• 到目前说明的是，对于 j>=n0 部分，一定存在某个正数 d 满足 |a[i]|>d 对任何 i>=n0 都成立。
• 而对于 i<n0 的部分，它是有限的，由于序列所有元素不为 0, 因此这些元素的绝对值存在一个非 0 的最小值 z
• 取 c=min(d,z), 存在一个正实数 c, 使得序列 |a[i]|>c 对任何 i>m 都成立，因此整个序列都是远离 0 的。

接着给定任意固定值 e 的情况下，根据收敛定义：

• 存在一个 N>=m 使得 d(b[i],y)<=c|y|e 对任意 i>=N 均成立。这里 c 是序列 b[i] 中远离 0 描述里的那个正实数。
• 那么 d(1/b[i], 1/y)=|1/b[i]-1/y|=d(b[i],y)/(|b[i]||y|)<=e

因此 (1/b)[m:] 收敛于 1/y.

(f) 序列 (a/b)[m:] 收敛于 x/y 。

• 根据 (e) 可知 (1/b)[m:] 收敛于 1/y
• 根据 (b) 可知 (a/b)[m:] 收敛于 x/y 。

(g) 序列 max(a,b)[n:] 收敛于 max(x,y) 给定任意固定值 e 的情况下，根据收敛定义：

• 存在一个 N>=m 使得 d(a[i],x)<=e 对任意 i>=N 均成立。
• 存在一个 M>=m 使得 d(b[i],x)<=e 对任意 i>=M 均成立。
• 假设 N'=max(M,N), 那么 i>=N' 时，d(a[i],x)<=e 和 d(b[i],x)<=e 均成立
• 由于 z=max(a[i],b[i]) 一定是在 a[i] 和 b[i] 中选择, 这意味着 d(z,x)<=e 也成立

(h) 序列 min(a,b)[n:] 收敛于 min(x,y)

• 和 (g) 的证明结构一样，只是把 max 改成 min

为什么当 b[m:] 极限为 0 时，序列 (a/b)[m:] 收敛于 x/y 不成立。

如果 b[m:] 极限为 0, 序列 (a/b)[m:] 收敛于 x/y, 那么可以理解为序列 (a/b)[m:] 不收敛。

但我们可以给出反例，比如 a[n]=1/n, b[n]=1/n, 极限都是 0, 那么它们的比值极限是 1, 并非不收敛，或者 1!=0/0。

原因在于即便分母极限是 0, 但实际 (a/b)[m:] 都是非 0 的值的比值，它们是有意义的。 即在无限远处可能没有定义，但具体的计算是每一步有意义的比值，这是实数相比有理数的一大特点：比值的极限不等于极限的比值。

一些不恰当的形而上类比：

• 每一步都有每一步的意义，尽管想象中的无限未来是没有意义的。
• 长远来看是悲观的，但短期都应该是乐观的
• 世上只有一种英雄主义，就是在认清(长远的)生活真相之后依然热爱（当下的）生活。

如果 a[0:] 和 b[0:] 都是实数序列，证明：对于任意的有理数 e > 0，a[0:] 和 b[0:] 都是最终 e-接近的，当且仅当对于任意的实数 e > 0 它们都是最终 e-接近的。

模仿书本中对命题 6.1.4 里的证明：

• 从右到左：假设 a[0:] 和 b[0:] 对于任意的实数 e > 0 都是最终 e-接近的，那么特别的，当 e 是有理数的时候，它们也是 e-接近的。
• 从左到右：对于给定的任意实数 e>0, 根据命题 5.4.12, 存在小于 e 的有理数 q, 由于 a[0:] 和 b[0:] 等价是在定义 5.2.6 下以有理数 e-接近的，因此两个序列是最终 q 接近的。

首先，如果 x,y,z 都是一般实数，那么这些命题已经在前文（尤其是 命题 5.4.7）证明过，以下只考虑出现 inf 和 -inf 场景

(a) （自反性） x <= x。

• x=inf, 根据定义 6.2.3, inf<=inf
• x=-inf, 根据定义 6.2.3, -inf<=-inf

(b) （三歧性）命题 x<y 、x = y 和 x>y 中恰好有一个为真。 根据定义， x 要么是实数，要么是 inf 或 -inf, 分以下情况：

• x=-inf: 根据命题 6.2.3, x<=y, 当 y=-inf 是 x=y, 否则根据 -inf 定义，x!=y, 因此 x<y.
• x 是普通实数: 那么如果 y 是普通实数，那么满足实数的三歧性。如果 y 是 -inf, 那么可以知道 y<x. 如果 y 是 inf, 则 x<y
• y 是 inf, 根据命题 6.2.3 可知 x<=y, 如果 x 也是 inf 则 x=y, 否则根据 inf 定义， x ！=y, 因此 x<y.

(c) （传递性）如果 x <= y 且 y <= z，那么 x <= z。

• x=-inf, 则 x<=z 对任何广义实数 z 成立
• x 为实数，y 为 inf, 则 z 只可能是 inf, 因此 x<=z
• x 为实数，z 不是 inf, 那么 x,y,z 都是实数，那么它们满足实数的传递性
• x 为 inf, 那么 x,y,z 都是 inf, 所有 x<=z

(d) （负运算使序改变）如果 x <= y，那么 -y<=-x。

• 如果 x 是 -inf, 则根据定义 -(-inf)=inf, 它大于等于任何广义实数，因此 -y<=-x
• 如果 x 是 inf, 则 y 必须是 inf, -inf<=-inf 也成立。
• 如果 x 是实数, y 是实数那么根据实数序性质可证。如果 y 是 inf, 则 -inf<=-x 对任何 x 都成立。

(a) 对于每一个 x ∈ E 都有 x<= sup(E) 和 x >= inf(E)。

如果 E 中包括 inf, 则 sup(E)=inf, 因此 x<=sup(E) 恒成立。

如果不包括 inf 则如果 x!=-inf, 则根据实数集合上确界性质可知 x<=sup(E), 如果 x=-inf, 则 x<=sup(E) 对任何 sup(E) 都成立。

如果 E 中包括 -inf, 则 inf(E)=-inf, 那么 inf(E)<=x 对任何 x 都成立。 如果 E 中不包括 -inf, 如果 x=inf, 则 x>=inf(E) 恒成立，如果 x 是一般实数，那么根据一般实数集下确界性质，x>=inf(E)

(b) 假设 M ∈ R* 是 E 的一个上界，即 x <= M 对所有的 x ∈ E 均成立，那么 我们有 sup(E)<= M。

• 如果 M 是 inf, 则 sup(E)<=M 恒成立
• 如果 M 是 -inf, 意味着 R* 是空集，根据定义 sup(E)=-inf<=M 成立
• 如果 M 是实数, 那么根据上确界，根据定义实数上确界定义 sup(E)=<=M 成立

(c) 假设 M ∈ R* 是 E 的一个下界，即 x >= M 对所有的 x ∈ E 均成立，那么 我们有 inf(E) >= M。

由于 inf(E)=-sup(-E), 这里要证明的是 sup(-E)<=-M ，如果 x >= M 对所有的 x ∈ E 均成立，那么 x<=-M 对于所有 \( x\in -E \) 也是成立的，因此根据 (b), 我们有 sup(-E)<=-M 即 inf(E) >= M。

由于序列中的元素构成了一个集合，而其 sup() 和 inf() 的定义于集合的一致，因此根据定理 6.2.11 自然就证明了其性质。

但额外的，我们要说明对于任何小于上确界 x 的实数 y, 能找到一个元素 a[i] 满足 y<a[i]<=x.

用反证法，假设不存在这种元素，那么对任意 i 都有 a[i]<=y 或者 a[i]>x, 由于 x 是上确界后者不成立，所有元素都小于 y ，y 就是序列的上界了，但同时 y<x, 与 x 是上确界矛盾。

一种“分解”的证明思路是，首先证明 a[m:] 的收敛性质，再证明其收敛于 sup(a[m:]) 。但实际 第一部分证明会很困难，因为没有一个具体的收敛值作为抓手。反而直接证明 a[m:] 收敛于上确界是更方便的。

定义 x 为 sup(a[m:])，根据上确界定义有 x<=M ，因此它是一个具体的实数，给定任意 e>0, 有 x-e<x, 根据命题 6.3.6, 存在一个元素 a[i], 满足 x-e<a[i]<=x, 因此 x-a[i]<e, x 是上界又保证了 x-a[i]>0 由 a[m:] 的单增性质可知，对任何 j>i, 都满足 a[j+1]>a[j]>..>a[i], 因此对任何 j>i 都有 0<x-a[j]<e, 也就是对任意 e>0, a[m:] 最终 e 接近于 x, 因此 x 是 a[m:] 的极限。

实际要证明序列 a[1:], 其中个元素 a[n]=x^n 是发散的。

用反证法，假设 \( (x^{n})_{n=1}^{\infty} \) 存在极限 L, 那么由于 \( \frac{1}{x^{n}} x^{n}=1 \) 根据定理 6.1.19 (b), \( \frac{1}{x^{n}} \) 会收敛于 1/L 但根据命题 6.3.10, 1/L=0, 因此 L 是未定义的。

因此该序列发散。发散序列的极限不能参与一般计算，就像 0 不能作为分母一样。

先证明 c 是极限点，将收敛性质展开成底层 e-N 语言：对任意 e>0, 都存在 N 使得 d(a[i], c)<e 对所有 i>N 成立，这意味着对每个 N>m 都存在一个 j>N, d(a[j], c)<e 。

接着证明唯一性：如果存在另外一个极限点 c2, 根据极限点定义， 对任意 e>0, 对每个 N>m 都存在一个 j>N, d(a[j],c2)<e ，但这个 a[j] 同样要符合收敛性质，即 d(a[j], c)<e, 这意味着对任意 e>0, d(c2,c)<2e, 根据 命题 4.3.7(a), c2=c

(a): 这里证明对于任意的 y < L-，存在一个 N>=m 使得 a[n] > y 对所有的 n>= N 均成立。

根据 L- 定义， y<sup(a-[N:]), 而根据命题 6.3.6, 如果某数小于序列的上确界，在序列中能找到无数个介于该数和上确界之间的元素，假设有一个是 a-[N], 它满足 a-[N]>y, 而 a-[N]=inf(a[N:])>y 意味着 y 小于 a[N:] 中所有元素，这就是要证明的结论

(b): 这里证明对于任意的 y > L- 和任意的 N>=m，存在一个 n>=N 使得 a[n] < y。

根据 L- 定义， y>sup(a-[N:]), 而根据命题 6.3.6, 所有 a-[N] 都小于 y, 而 a-[N] 定义为 inf(a[N:]), y>inf(a[N:]), 再根据命题 6.3.6, 如果某数大于序列的下确界，在序列终能找到无数介于该数和下确界之间的元素，也就是存在 a[n]<y

(c) 先证明 inf(a[m:]) <= L-, 根据 L- 的定义，它是 sup(a-[m:]), 而 a-[i] 是 inf(a[i:]), 因此 inf(a[m:]) 是 a-[m:] 中的一员，根据序列上确界定义，其成员不大于上确界，因此得证。

用相同的思路可以知道 sup(a[m:]) 是 a+[m:] 中的一元，因此有 L+ = inf(a+[m:]) <= sup(a[m:])

用反证法证明 L- <= L+, 假设 L- > L+, 根据 (a), 存在一个 N>=m 使得 a[n] < L- 对所有的 n>= N 均成立。 再根据 (a), 这意味着存在一个 N'>=m 使得 a[n'] > a[n] 对所有的 n'>= N' 均成立。注意 n' 和 n 可以取相同，这导致矛盾。

(d) 证明如果 c 是 a[m:] 的一个极限点，那么 L- <=c<= L+。

先证明 L- <=c, 反证法，如果 c<L-, 根据 (a), 序列中能找到一个 N, 使得， a-[N]>c, 即所有 i>=N 满足 c<a[i], 取 e=(a-[N] - c), 这意味着 c 不可能最终 e-附着于 a[m:], 这和 c 是极限点是矛盾的。 再用反证法证明 L+>=c, 如果 c>L+, 根据 (a), 序列中能找到一个 N, 使得， a+[N]<c, 即所有 i>=N 满足 c>a[i], 取 e=(c - a+[i]), 这意味着 c 不可能最终 e-附着于 a[m:], 这和 c 是极限点是矛盾的。

(e) 先证明如果 L+ 是有限的，那么 L+ 是 a[m:] 的极限点。 根据 (b), 给定任意 e, y = L+ - e<L+, 那么对任意的 N>=m，存在一个 n>=N 使得 a[n]>L+ - e, 也就是 L+ - a[n]<e, 这符合极限点的定义。

类似地，再如果 L- 是有限的，那么 L- 是 a[m:] 的极限点。 根据 (b), 给定任意 e, y = L- + e> L-, 那么对任意的 N>=m，存在一个 n>=N 使得 a[n]<L- +e。 也就是 a[n]-L-<e, 这符合极限点的定义。

(f): 根据命题 6.4.5, 收敛于 c 的序列只有唯一的极限点，而根据 (e), L+ 和 L- 都是极限点，因此 L+ = L- =c 。

反过来如果 L+ = L-, 根据 (d) 序列 a[m:] 所有的极限点都是 c, 因此是唯一的，TODO

(a) 反证法，如果 sup(a[m:])>sup(b[m:]), 根据命题 6.3.6, 在序列 a[m:] 中存在一个 a[i]>sup(b[m:]), 但对应的 b[i]>=a[i], 因此有 b[i]>sup(b[m:]) 这与上确界定义矛盾。

(b) 反证法，如果 inf(a[m:])>inf(b[m:]), 根据命题 6.3.6, 在序列 b[m:] 中存在一个 b[i]<inf(a[m:]), 但对应的 b[i]>=a[i], 因此有 b[i]<inf(b[m:]) 这与下确界定义矛盾。

(c) 反证法，如果 limsup(a[m:])>limsup(b[m:]), 根据命题 6.4.12(a), 对于序列 b[m:] ，存在 N>=m 使得 b[n]<limsup(a[m:]) 对所有 n>=N 都成立， 根据命题 6.4.12(b), a[m:] 中存在 j>=N 使得 a[j]>b[n] ，那么 b[j]<limsup(a[m:]) TODO

(d) 反证法，如果 liminf(a[m:])>liminf(b[m:]), 那么根据命题 6.4.12 TODO

如果 a[1:] 为 1-2/n 的序列， b[1:] 为 1-1/n, 那么有 a[n]<b[n] 恒成立，但是 sup(a[1:])=sup(b[1:]) = 1

这与 引理 6.4.13 并不矛盾，因为引理中需要小于等于而非小于。

习题 6.1.3 和 6.1.4 证明了极限与初始指标无关，这里证明极限点，上下极限和初始下标无关。

以下证明中，不失一般性，假设 m'>m 。

假设 a[m':] 和 a[m:] 是序列 a[1:] 选取不同初始下标后的两个序列，a[m'] 有极限点 c', 满足对任意 e>0 和任意 N>m' ，都存在一个 j>N, 满足 d(a[j], c')<e, 由于 m'>m 且 j>N 是存在性的，那么任意 N>m 中也存在 j>N 满足 d(a[j], c')<e, 所以 a[m:] 也有极限点 c'. 反过来，如果 a[m:] 有极限点 c, 那么对任意 e>0 和任意 N>m>m' ，都存在一个 j>N, 满足 d(a[j], c)<e, c 也是 m' 的一个极限点。

对于 limsup(a[m:]), 它定义为 inf(a+[m:]), 注意 inf(a[m:]) 或者 sup(a[m:]) 是和下标有关的，比如序列 1/n, n 从 1 开始的话其 sup 是 1, 从 2 开始就是 1/2 。假设 c 是 a[m:] 的上极限，c' 是 a[m':] 的上极限， 对任何 i>=0, 可以证明 sup(a[m+i:])>=sup(a[m'+i:]) 。

用反证法，假设 sup(a[m+i:])<sup(a[m'+i:]), 根据命题 6.3.6, 序列 a[m'+i:] 中存在一个元素 a[j] 满足 a[j]>sup(a[m+i:]), 由于 j>m'+i>m+i, 因此 a[j] 也是 a[m+i:] 中的元素，这违反了上确界的定义，因此矛盾。

有了 sup(a[m+i:])>=sup(a[m'+ i:]) ，对任意 i>=0 的都成立，根据比较原理，inf(a+[m:])>=inf(a+[m':]), 也就是 c>=c' 。

现在证明 c 不可能大于 c', 只能相等。假设 c>c' 即 inf(a+[m:])>inf(a+[m':]), 根据命题 6.3.6 （对下确界性质推广），a+[m':] 中存在元素 a+[i] 满足 inf(a+[m:])>a+[i], 但 a+[i] 也是 a+[m:] 中一员，违反下确界定义，因此 c=c'

用类似方法可证明 liminf(a[m:]) 与初始指标无关。

根据比较原理， limsup([a:])<=limsup([b:]),liminf([b:])<= liminf([c:]) 而 a[m:], c[m:] 都收敛于 L, 因此它们的上下极限都是 L, 根据命题 6.4.12(c) L<=liminf(b[m:])<=limsup(b[m:])<=L, 因此 b 的上下极限都应是 L, 那么根据命题 6.4.12(f), b[m:] 收敛于 L

• 如果 lim(|a[n]|) 存在且等于 0 那么序列 a[m:] 极限存在且为 0

  由于对任意 i>=m, -|a[n]| <=a[i]<=|a[n]|, 而根据定理 6.1.19(c), 如果 lim(|a[n]|)=0, lim(-|a[n]|)=0, 根据夹逼定理 lim(a[n])=0

• 如果序列 a[m:] 极限存在且为 0 那么 lim(|a[n]|) 存在且等于 0

  直接用定义，a[m:] 极限为了 0 ，那么对于所有 e>0, 存在 N>m 满足 |a[i]|<e 对任意 i 成立， 这直接也是 lim(|a[n]|) 存在且等于 0 的定义。

如果把 0 替换成其他数字并不成立，比如是负数的话，|a[n]| 不能为负，但如果 |a[n]| 极限为正， a[n] 极限可以为负。

• q==0 时： 1/n**q = 1, 因此序列收敛于 1
• q > 0 时： 可以写成 q=m/k, 其中 m,k 都是正整数，1/n**(m/k) = (1/n**(1/k))**m, 根据推论 6.5.1, 1/n**(1/k) 极限为 0 ，根据定理 6.1.19(b) 以及对 m 进行归纳可以知道其收敛于 0.
• q < 0 时， 1/n**q 写成 n**p，这里 p 是正有理数，假设其存在极限 L, 根据定理 6.1.19(e), 它的倒数 1/n**p 的极限是 1/L, 但该极限刚证明为 0, 因此导致矛盾。

• x=1 时可以直接知道极限就是 1
• x=0 时可以直接知道极限就是 0
• 0<x<1 时，根据命题 6.3.10: x**n 收敛于 0
• -1<x<0 时，根据 推论 6.4.17, |x**n| 收敛于 0, 因此 x**n 收敛于 0
• x>1 或 x<-1 时，极限不存在，用反证法，如果存在极限 L, 那么根据定理 6.1.19(e) 极限定律中倒数法则， 1/x**n 极限就是 1/L, 但这等于 (1/x)**n 的极限，而 1/x 在 -1 到 1 之间，刚证明极限为 0, 因此这导致 1/0 的矛盾。 (习题 6.3.4 用这种方法证明 x>1 时 x**n 极限不存在)
• x=-1 时，极限也不存在，可以用极限点说明，该序列任何后缀序列的元素集合都是 {1,-1}, 因此上下极限分别是 1,-1, 二者不相等，根据命题 6.4.12(f), 不存在极限。

TODO

• a[m:] 是 a[m:] 自身的子序列，因为 f(n)=n 就是要找的递增函数，它是双射的，因此也是单射。
• a[m:] 是 b[m:] 子序列，那么存在递增单射 f:N->N ，满足 a[n]=b[f(n)], b[m:] 是 c[m:] 子序列，那么存在递增单射 g:N->N ，满足 b[n]=c[g(n)] ，可以构造一个新函数 h(n)=g(f(n)), 满足 a[n]=c[g(f(n))], 根据函数性质（习题 3.3.2），两个单射的复合还是单射，并且根据 f,g 都是递增的性质，给定 n1>n2, 有 f(n1)>f(n2), g(f(n1))>g(f(n2)), 因此 h 也是单增的

a[0:] 为自然数中偶数 2n ，b[0:] 为自然数

• 先证明实数序列 a[0:] 收敛于实数 L, 那么 a[0:] 的每个子序列都收敛于 L.

TODO

• 先证明实数序列 a[0:] 收敛于实数 L, 那么 a[0:] 存在子序列收敛于 L.

• 先证明 a[0:] 存在子序列收敛于 L, 那么实数序列 a[0:] 收敛于实数 L

  TODO