为什么关心行星扫过的面积？

现在跑步经常会用到运动软件，设定目标公里数，记录整个运动的轨迹。有些人还会把运动轨迹规划成特定图形，比如：

（图源： 合肥“跑友”用脚步跑出“神轨迹” 千奇百怪各种姿势）

这个过程中，人先从“虎年”的文化现象中获得有意义的模式，而软件记录的跑步轨迹可以以字迹形式来呈现模式，于是按照模式跑出了 "虎" 字。

这让我想到一句话：大雁飞过时，一会儿排成“人”字形，一会儿排成“一”字形。

人们观察到大雁的现象，发现它和某些文字或图形很像，于是给它打上标签，这是识别出模式并通过类比去赋予意义的过程。

大雁的形状是雁群减轻风阻而自然涌现的结果，大雁并不识字，不是为了写出“人”字而飞成这个样子的，这和人主动跑出 "虎" 字 的行为有显著差异。

从两种行为的动机上看，大脑有一种在无意义的信号中寻找意义的倾向，即便是已经有意义的对象，比如跑步能让你身体更为健康，人们还是会想去赋予其他维度的意义，增添一些仪式感，获得情绪价值。

从行为发生的认知过程上看，跑出 "虎" 字是人先根据环境找到意义，将其编码成模式，然后按照模式生成现象； 给雁群贴标签则更像先观察到一类现象，然后将这种现象归类到特定模式；二者方向是相反的。

然而，要能完成模式的归类，大脑里必定先要有一些模式才行，比如先要有 "人" 和 "一" 的形象，一个不认识汉字的古希腊人可能会说大雁排成的是 \( \lambda \) 形而不是 “人” 形。所以无论哪种行为，都可以这样来解释：我们先有一套预置的模板，用它去和现象进行匹配，跑步是用行动的历史轨迹去匹配“虎”字模板，雁群识别则是通过眼睛观察到的现象去和 "人” 或 \( \lambda \) 匹配。

小学时第一次听说星座，包含北斗七星的大熊座，猎户座，半人马座 …，这些名字引发了无尽的想象，再加上校园里流传的用星座去性格和命运的故事，心里就更加好奇， "天空中怎么会有熊，猎户，半人马的图像呢？" 这比天上有神仙或天宫似乎更可信也更能证实，我真有点儿相信确实有人能从星空里找到它们的痕迹。

然而晚上抬头一看，除了最明显的像勺子一样的北斗七星，并不能一眼看到大熊，天鹅或者人马，我最初将这归因于自己没有掌握观测的科学方法或者是夜空光污染比较严重看不清楚。直到一个暑假去奶奶家，晚上在乡下的楼顶上和表哥表姐们一起打地铺，睁开眼睛就是漫天的繁星，我们照着一本杂志里的天文专栏去找各个星座，待识别出猎户座后，我出现了一种夹杂了荒诞和被欺骗的感觉，因为书本上所描述的猎户座可能是这样的：

而自己看到的星空则更接近下图（去掉文字标注）：

图片链接来源： 猎户座 | 猎户座腰带 | 猎户星座 | 猎户座腰带三星 | 猎户座是什么星座 | 猎户座三颗星 | 猎户座腰带北斗七星

看上去基本就是一堆随机的光点，要从中识别出任何动物几乎只能出于纯主观想象，熊、猎户、半人马原来只是前人随意指定的，因此我感到被欺骗、甚至信仰崩塌。

这次事件后我对星座的兴趣指数下降，和人再谈论到星座时常说：假设你在地上撒一把米，为什么要将一些颗粒大的米连起来，然后说它是猎户，是人马，为什么不能是奥特曼或者皮卡丘？或者只说它是一把米呢？

但这个事件并没有影响我对星座占卜、性格预测的态度，因为这些话题不涉及客观对象的实证，就像神话故事，更多是提供情绪价值的。

现在我有了许多词汇和类比来源去解释为什么存在这些看似任意的星座命名：

人们只是将它作为一种索引标记，与其说“左上角那个最亮的星右侧的一颗”，不如说那是“猎户的腰带上第二颗”。正如祖传代码难以修改，根据历史迭代下来的这套说法已经形成了路径依赖，就像 qwert 键盘也不能随时就被另外一套键盘布局完全取代一样。

这套星座命名体系包含了两层：

第一层是对天空中各个点进行了聚类，但它并不是基于星球之间真实距离或运动规律特征进行的聚类，而是部分宇宙投影到大气层这种近似的二维球面后的距离和亮度，一颗很暗的星可能无比巨大但距离地球非常遥远，而两颗看上去很近的星却属于不同的星系，只是垂直方向投影距离很近。

然而不能说这套协议第一步是基于“错误的”特征，因为人们关心的就是投影层的视觉区分。

图片来源： 12星座与88星座啥关系？为啥要增加蛇夫座，变成13星座？ - 知乎

第二层是对聚类结果的命名，就像变量名用 abc 还是用 g_stack_point 一样。

这两层并不能划分为独立的阶段，大雁南飞现象中，大雁和天空的界限对人来说基本是明确的、显然的，不同国家不同年龄的人大致都能识别出那有一群区别于天空背景的飞行物，再注意到飞行物呈现出的形状，比如懂汉字的人识别成 "人" ，古希腊人识别成 \( \lambda \) 。

但在星座命名层面，聚类时就非常依赖人类对各种动物或想象事物（半人马）的预置模板：“因为这几个很亮的星星像一张弓”，所以把它聚类在一起，“既然有了弓，那或许也有人”，“它左侧的几个星星有点像人体骨架关节”，可以把弓和它组合在一起（尽管他们中间并没有太多亮星），最后把它们打包成“猎户”。换另一个人来聚类结果可能就不同，而且聚类结果对应的标签也会不同。

因此两层是交替混合着的：依据特定的预置模板再结合二维投影面上的点的距离和亮度进行聚类筛选，不断迭代并修正。

预置模板包括了地面上人类可知的和能想象的一切事物，选项极多且因地域和文化而异，再由于星空分布的随机性，模板和现象的匹配迭代过程充满着任意性，不同文明会有不同的命名法，比如中国有星宿，牛郎织女星等。直到 20 才统一用公元二世纪天文学家托勒密总结的星座划分和命名体系，而且还随着新的观测在缓慢修正演化。

这也是我能对此感到不满的原因，自己似乎也能参与讨论，对此发表意见，提出自己的星座划分和命名，然而，也是因为这种任意性，一旦标准确立，要去推翻它会非常难，因为往往找不到强力的理由。

托勒密不单对星空投影进行了静态的聚类和命名，还描述了三维宇宙的动态模型。

如上一张图所示，地球上人类能看到的更接近星辰在球面上的投影，人类的观测坐标系里只有一个和星球运动有关维度，也就仰角（比如 8 分角，大概是现在的 0.13 度），根本无法获得真实距离(只能预估一个假定的数值，但从现代视角看，这基本是错误的)。而现在我们知道，地球在公转、自转，行星也在转，一切都在动，根据二维投影面上现象逆向推测出三维宇宙的运动规律，像是柏拉图所描述的洞穴寓言里的场景，人们看到的只是洞壁上照出一些来往木偶的影子，却想知道洞外真实的世界，而对于过去地球上的人来说，完全无法从物理上逃脱洞穴，只能寄希望于想象或理性去摆脱枷锁。

图片来源： 柏拉图的“洞穴寓言”

确切的说，托勒密描述的是行星运行的模型，为什么只关心行星？

因为如此复杂的星空在运动轨迹上呈现出极强的规律性，虽然星空像是随意分布，但每天它们都是同步运动的，和太阳一样东升西降，只是一个在白天，其他在晚上(但现在知道任何时候都在转，只是白天太阳光掩盖了所有其他星光)。与人类在地面上观察到的匀速圆周运动进行类比，几乎就可以认定所有星球都一起绕地面旋转，而且由于极强的同步性，还可以认为它们是固定地镶嵌在宇宙之中的。仅仅用了一个 "匀速圆周运动" 的预置模板就解释了当前我们所知的地球的自转现象。

考虑到“匀速”和“圆周运动”在数学上的简单完美性，托勒密等人继续分析星空运动时几乎只坚持用这一个模板。这和命名星座使用到的丰富的想象有很大的反差。极强的运动规律性和极少的预置模板，使得其他人很难去发表自己的独特意见，我可以抱怨星座命名的随意性，但无法否定宇宙是在旋转的，至于它是什么样子的旋转，则需要大量数据来支撑，几乎只能选择相信权威或古人的智慧。

除了每天的旋转，人们还观测到，每晚相同时刻星空整体的分布是在逐渐变化的，一年之后基本又回到相同位置。比如今天晚上 23 点的星空中，大部分星星的仰角和去年今天 23 点是一样的，但和六个月前晚上 23 点的仰角则不同。当把这些轨迹记录下来后发现，星空每天并不是绕地球转完整的一圈，而是每天都有一点点滞后，每天积累的差距逐渐变大，最终一年之后抹去。

这种现象并不会影响匀速圆周运动假设，只需认为每天星空并不是旋转 1 圈，而是 1 圈减去 1/365 度，而“天”是根据太阳旋转周期确定的，所以这表明太阳旋转的速度和其他星球旋转速度有一度偏差。

当然还有很多细节，比如地球公转轴和自转轴不一样，从而转到不同季节会看到不同的星座，这可以解释为宇宙不是纯粹朝着一个方向旋转，还有一点“侧滑”，所以托勒密基本认定整个星空都在同步旋转，他称这些星星为恒星，镶嵌在透明的宇宙中，而太阳也在旋转，只是不那么硬地镶嵌着，所以跟随宇宙一起旋转时自身有一点滞后。

这个模型解释了 99.99% 的如今关于地球自转和公转的现象，晚上看到的最近的月亮确实也绕地球转而且几乎匀速，套用完美匀速圆周运动得到的结果完全在可接受视角误差范围内。而现在知道，我们之所以看到恒星都是同步运动，是因为它们距离地球和太阳系过于遥远，无论地球如何运动，肉眼看，它们相对地球来说都是一样的运动规律。

在解释公转导致的现象时，只有少数星球运动有明显的偏差，甚至火星和木星移动到天空某个位置后接下来几天还会逆行再继续前进，这些就被称为行星（流浪的星球）。

所以托勒密真正要解释的是剩余的不到 0.01% 的数据偏差，即行星的运动规律。

由于匀速圆周运动模型对星空预测准确率极高（99.99% 以上），加上对数学中简单优雅的崇拜，托勒密继续只坚持用单一的“匀速圆周运动”预置模板，提出本轮均轮模型，行星并不是镶嵌在宇宙中，而是本轮的圆心（下图中小圆的圆心）固定在轨道上跟随宇宙旋转，而它自己在本轮上再做匀速圆周运动，这里可以解释逆行现象（下图中右上角轨迹的折返处），也能解释行星有时候变亮（距离地面近）有时候变暗（距离地面远）的现象，这个模型和地球绕太阳转，月亮又绕地球转是一样的，只不过托勒密用来解释所有行星绕地球转。

图片来源：【组件篇】天体系统(2) 系内天体与本轮均轮模型 - 知乎

如果还有误差，则继续加上更多本轮，或者修正一些小的参数，比如火星的轨道不是以地球为中心，而是以地球旁的一个虚拟点为圆心，这样可以解释火星有一半时间更亮另一半时间更暗的现象，这称为偏心圆模型。

托勒密的模型不单有着简洁的预置模板，而且实践中有很高的精度，人们可以用它去指导航海，制定历法。

但随着时间推移，搜集到数据越来越多，人类活动的精细度要求也越来越高，积累的偏差就越多，到了开普勒时代，需要给行星递归嵌套上几十个本轮才能把预测误差降低到当时人类活动所能容忍的范围，预置模板的优雅性被组合复杂性给侵蚀了。

直到 1400 年之后，开普勒才重新提出了一套行星运动规律的描述：

• 第一定律（椭圆定律）：行星轨道不是圆，而是椭圆。太阳位于焦点上，这意味着行星与太阳的距离是随时间变化的。
• 第二定律（面积定律）：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
• 第三定律（周期定律）：行星绕太阳一周的时间的平方与它们轨道半长轴的立方成正比。

在中学学到时，我最初对第一和第三定律并没有特别的感觉，既然开普勒有大量的来自第谷的观测数据，那么把行星的位置按时间绘制出来就能算出是椭圆，而由于行星是运动的，并且具有周期性，因此计算它运动一周的时间并和椭圆几何参数进行比较找规律也很合理，尽管其中用到了平方和立方的关系看上去不是那么直接，但毕竟这也只是最基础的多项式函数，伽利略在测量自由落体运动时就发现下落距离和时间的平方关系，因此做这类尝试看上去并不是非常突兀。

我总觉得第二定律哪里怪怪的，但无法用语言精确表达，可能是“扫过”这个词和天文中对象放在一起有点不那么自然。

但在了解更多历史细节之后，对第二定律的不自然感被打消，或者说被第一定律的意义给淹没了。

因为开普勒并不是把行星坐标标记在平面再用平滑的曲线将它们串起来就能看出椭圆，从前文可知，人类能获得的关于星球的数据只有不同时刻的仰角，而没有距离，另外并非弯曲的圆就是椭圆，要得到椭圆的结论，需要非常精确的数学表达式才行。

如果有人提前告诉我们它的轨迹是椭圆，然后根据数据去验证，求出误差，那么这是个根据投影面数据求解椭圆模型参数的数学问题，这本身并不简单，尤其是只知道仰角的情况下凭借欧几里得的几何学计算这类圆锥曲线，需要高超的数学能力。

放在历史环境下，还涉及两个更为关键的转换：地心说到日心说的转变以及预置模板的重新选择。

地心说到日心说转换涉及到世界观的颠覆，背后是强大的宗教力量，但在开普勒时代，它并不是突如其来的翻转，在这之前哥白尼和布鲁诺已经发起过斗争。而且从宗教教义上看 ，并没有一个非得是地心说的理由，因为太阳本身很容易受到人类崇拜，它如此明亮，提供生命所需要的阳光，因此地球绕着它转并不会削弱自然或者上帝的伟大，对地心说的维护看上去更多是路径依赖，是对人类直觉体验以及固化到宗教里的认知习惯的维护。

而预置模板的重新选择涉及到的是价值观的转换，用椭圆去打破对完美圆周的执念意味着开普勒需要去给椭圆 赋予某种意义，而这来自于哪里呢？

令我感到意外的是，之所以开普勒能让这种预置的范畴变得更为灵活，是因为音乐。

椭圆的意义来自于音乐，这就像今天跑步的轨迹形状的意义来自于快要过年了。

开普勒信仰太阳神而不是大地之神，他也认为美或者和谐不单单只能来自圆和匀速。

以下是开普勒 1619 年写的《世界的和谐》一书的目录：

图片来源： 开普勒当时是如何计算出行星轨道是椭圆的呢？ - 数学人生的回答 - 知乎

他用音乐中的和谐作为行星运动意义的来源，而音乐里可不是只有一个音高，而是有不同的和谐模式，椭圆，偏心率等在音乐中都有对应的类比，托勒密也是音乐大家，在这方面他们都是毕达哥拉斯的信奉者，通过音乐，数学去解释万物并寻找其中的和谐。

我想如果托勒密再活 1000 多年到开普勒的年代，大概率他会更早修正自己的模型，因为公元 2 世纪的天文数据用少数几个均轮和本轮的匀速纯圆模型完全足够。

只是越来越多的更精确的数据以及人类活动中对精度要求的提高使得这个模型误差越来越大，将托勒密模型宗教化的后人才不断叠加本轮并且把不断修正虚拟的圆心位置，虽然行星绕着地球转，但地球并非匀速圆周运动的圆心，而且行星本身已经在多层级的本轮上绕着各个虚拟的点旋转，这套说辞本身已经不那么优美和谐了。

开普勒听到某种变奏音乐，认为它意义非凡，然后尝试在天文里也赋予这种意义，给每个行星编曲（第四、五、六、七章）。

之所以选择椭圆，大概是因为它本身还是足够简单，数学上只比纯圆多一个参数，而太阳正好就在椭圆的焦点上，这比地球在纯圆的圆心旁边某个经验统计出的位置优雅得多，而且只需要一个椭圆模型，其预测精度就比嵌套了几十个本轮的托勒密模型更为精确。

因此开普勒第一定律本身就比偏心的嵌套了几十个均轮的匀速纯圆模型简单优雅得多。

这还没有结束，第二定律说明，在椭圆模型下，虽然行星运动在轨迹的长度变化上不是匀速的，但在运动轨迹和太阳的交互面积变化上仍然是均匀的（匀速圆周圆周运动的物体和圆心连接扫过的面积也是均匀的）。它仿佛在说，大自然规律的简单性不一定非要契合人类的表层知觉，但只要有细致的注意力和足够的理性，你总能在更深的层面发现这种简单的和谐，这不更加证明上帝的伟大，造物的精巧吗？

之后牛顿等人做的事情也是类似的，比如恒定的力并不是让人们更容易观察到的速度保持恒定，而是让不易察觉的速度的变化率保持恒定。

最后第三定律则是确定轨道的空间和运行时间的关系。

开普勒三大定理都需要大量的试错和计算，计算的结果在尺度上基本会是错误的，因为只能对比行星的视觉角度是否符合真实记录，就算所有行星的轨道半径都缩小 100 倍，投影的角度还是一样的。所以这些定律只描述了轨道的形状，扫过的面积变化率，以及轨道宽度和时间的比值，他无法说出具体轨道的宽度和面积，即便那时也有对宇宙大小的具体推测，但大多和现在的观测相差甚远，真正留下来的是结构上的论断。

其他参考： 普勒当时是如何计算出行星轨道是椭圆的呢？ - 知乎

开普勒三定律是关于观察现象的规律，不是之所以呈现出这种规律的原因上的解释。可以看到，数学上描述清楚一个现象本身就是一件困难的事情。要从数学上去解释原因也不简单，以至于一般都是先归结为“自然就是如此运作”或者“上帝的安排”。

开普勒自己的解释是太阳可能发出一种类似磁力的射线（称为 Species immateriata, 也许是因为那时候人们在地球上看到的能隔空产生的力就是磁力。）这种射线就像是一个精灵一样横向推着行星走并且不断调节行星角度和方向，形成椭圆，太阳和行星之间的神秘射线“签订”了二者单位时间内携手扫过的面积相等的契约。

但我们知道真相并非如此， 这个问题某种层面上已经被牛顿解决了，他的做法是先对力进行重新定义，把它拴在物体质量和速度乘积的变化率上，而非亚里士多德所锚定的速度层面，更不是日常场景所定义的“力大如牛”或“马力”这种动物感官基准上。

这一步是对力的数学化，由于加速度是速度的变化率，而速度是空间位移的变化率，因此牛顿实际是把力规约到了空间和时间这两个更无法被怀疑的对象上（康德所说的先验范畴，这两个预置模板比圆或椭圆更为抽象，很难随意替换，甚至不知道它们是什么但就是能感知到它），人们约定标准的空间和时间单位，比如米和秒后，套用牛顿从实验中总结的公式和规律，力就被精确地锁定出来。

因此力能被数学化是因为它规约到了大家共享的任何时候任何地方都不变的绝对时空框架上，如果地球上的米和秒和太阳上不一样，力的定义就不准确了，它会和和“力大如牛”一样会陷入某种任意性上（只是没有那么随意），当然如今我们知道绝对时空也是有问题的，但至少在当时人们实践活动范围内，这种误差是能够容忍甚至不易察觉的。

在有了力的定义后根据现象大胆假设太阳和行星之间有一个超距的作用力 – 万有引力（毕竟也有磁力这种超矩力存在），引力的方向在二者的连线上并且和距离平方成反比，那么在某个初速度下行星就会出现这种椭圆轨迹而且单位时间连线扫过的面积是相等的。在该解释下，“行星扫过的面积”是个非常稳定的特征，它不是像星座聚类那样充满任性的草台班子，而是建立在更简单的几何学规则和经过科学实验验证的力学三定律下相对稳固的节点。

尽管我们现在知道这种解释也不是完美，甚至是错误的，行星并非按椭圆运动，这是个复杂的多体相互作用的问题，它们的精确轨迹几乎是算不出来的，但还是那句话，在特定场合下，这种模型的误差只要在人能容忍的范围，我们就认为它是正确的，或者根本不用去谈论对错，只说它们是有用的。

尽管有了这些历史背景知识，再读到开普勒三定律时，我还是对第二定律有着不一般的敏感，比如有时候会冒出一连串疑问：为什么要测量行星扫过的面积？宇宙里有地面？需要在宇宙里扫地吗？

尽管后两个像是“扫”一词联想过度而产生的有趣问题，但对它们的回答更适合出现在类似《银河系漫游指南》的科幻小说中，毕竟那里可以在太阳系中修高速公路，计算面积就变得重要了。

这激起了我尘封已久的第一次读到它时的怪怪的感觉的回忆，是啊，一个行星和另外一个恒星连线扫过的面积完全是动态存在的，甚至就是不存在的，它不是某人住的房子，需要活动空间，也不会去接收光照获得营养，为什么关心它？

如此渴望意义的现代人，跑步的时候也只是在意积累的距离信息，比如 5km 、 10km ，或者是跑步轨迹的形状， 为什么要去测量跑过的圈所围的面积，而且还是面积的变化率？（以下三个阴影处面积相等）

图片来源：开普勒第二定律的“扫过的面积”是什么意思？ - 半清醒的回答 - 知乎

这是一个关于个人或者人类认知的问题，是关于注意力如何分配的问题，为什么会注意到行星运动的面积？

如果是在开普勒之后，又有人观察到某个行星和另外两个不在行星轨道上的恒星连线组成三角形扫过的体积的速率是恒定的，那么我们可以回答说，是因为开普勒已经发现了面积规律，受此启发，我们又去观察扫过的体积。这种面积相关的物理启发有很多，比如电磁场中会去讨论通量的变化率，即线圈围成的面积的磁场的总强度在时间上的变化率，竟然和线圈里产生的电压有关，再到现在我们已经怀疑任何事物都是普遍联系的，所以用计算机去生成各种各样的特征，再从中筛选出和目标相关性强的特征，不管它是面积，体积还是成百上千变量的暴力组合，无须物理意义，只要有用就行。

在开普勒之前并没有这种先例，于是许多人可以说，这就是开普勒的天才般的创新之处，睹微知著，就像许多数学家能注意到复杂数字符号之间的规律一样。这确实是一种足够好的回答了，就算去问这些数学家，他们也许回答的是 "显然“ 或者说散步时突然来了灵感，这就像你去问大雁为什么飞出人形，它们会说我不知道“人”是什么，我只是觉得很轻松。

从前文描述中可以看出，这里并不轻松，有大量的试错计算。之所以这种试错能得到契合的结果，很大程度是运气，如果地球是在更加混乱的星系，那么第一步套用完美匀速圆周运动就会失效，也不会有匀速纯圆派和变奏椭圆派的音乐流派之争，更不会关注行星扫过的面积。而如果太阳系没有那么多容易观测的行星，比如没有逆行最明显的火星和水星，那么匀速纯圆派可以一统天下，人类至少能在地球和人类是宇宙的中心并且一切都是完美的圆的美梦中多待一些年。

但如果这么想，什么不是运气呢？任何存在着的都是运气，所以我当前能想到的最好的对这个问题的回答是： "这不好回答" ，或者说就是大量搜索中偶然发现的。

最后，我为什么关心“为什么开普勒关心行星扫过面积”？或者为什么第一次读到三定律会觉得第二定律有点怪？

我想这有两个方面：一是历史投影导致的偏差，三定律在许多书本里是以一种非常干净和理想的方式呈现（如上图那样给出椭圆），让我觉得第一和第三似乎很合理，但站在开普勒的视角，最难的是第一定律，这涉及整个世界观的转换，以及复杂的从二维的大气层曲面投影逆推三维宇宙模型的工程，是柏拉图洞穴隐喻的现实版本（上一个版本是托勒密的，当然其他文化也有不同版本，比如埃及，中国，玛雅等，但没有占据当前的全球话语），之后第二第三定律也需要很多尝试和计算，但更像是对这个世界观的数学性质上的补充。二是“行星扫过的面积”确实与人对“面积”的一般感官理解脱节的概念，是反直觉的，它的意义是纯数学上的。