为什么关心行星扫过的面积？

现在跑步经常会用到运动软件，设定目标公里数，记录整个运动的轨迹。有些人还会把运动轨迹规划成特定图形，比如：

（图源： 合肥“跑友”用脚步跑出“神轨迹” 千奇百怪各种姿势）

与之类似的是，大雁飞过时，一会儿排成人字形，一会儿排成一字形。人类观察到大雁的现象，发现它和某些文字或图形很像，并给它们取了名字，这是模式识别并赋予意义的过程，“意义”来自于自身更熟悉更能理解的事物。

但大雁的形状是雁群减轻风阻而自然涌现出的结果，大雁并不识字，不是为了写出“人”字而飞成这个样子的，人跑步的轨迹则是先设计成契合当前环境中其他意义的模式，比如虎年到了跑个虎字，再按照模式去生成，或者用行动去匹配模式。

一种是从现象到模式，另一种是从模式到现象。尽管有所差异，但从中可以看出，人的大脑似乎总是渴望在无意义的信号中寻找意义，将自然的随机或涌现模式“识别”为有意义的实体，即便是已经有意义的对象，比如跑步能让你身体更为健康，人们还是会想去赋予其他维度的意义，让它无论从什么角度看，似乎都有彩蛋或惊喜。

小学时第一次听说星座之后，总是感到很好奇，比如包含北斗七星的大熊座，猎户座，半人马座等，但自己抬头看天上时，除了最明显的像勺子一样的北斗七星，并不能一眼看到大熊，天鹅或者人马，我一直认为是自己没有找到某种观测视角或者是夜空光污染比较严重看不太清楚。直到一个暑假去奶奶家，晚上在乡下的楼顶上和表哥表姐们一起打地铺，睁开眼睛就是漫天的繁星，我们照着一本杂志里的天文专栏去找各个星座，等识别出猎户座后，我出现了一种夹杂了荒诞和被欺骗的感觉，为什么？

因为书本上所描述的猎户座可能是这样的：

但你看到的星空呢？是以下没有标注后的一片散沙。

图片链接来源： 猎户座 | 猎户座腰带 | 猎户星座 | 猎户座腰带三星 | 猎户座是什么星座 | 猎户座三颗星 | 猎户座腰带北斗七星

和人再谈论到星座时，我总会拿出以下的类比：假设你在地上撒一把米，你为什么要将一些颗粒大的米连起来，然后说它是猎户，是人马，为什么不能是奥特曼或者皮卡丘？或者只说它是一把米呢？

后来我基本对星空不感兴趣，反而对星座相关的故事，比如预测运势等并不排斥，为什么呢？

我想是因为那时候我只是对 "天空中怎么会有熊，猎户，半人马？" 感到好奇，甚至相信有人能从天上找到它们的痕迹，只是我没有学会观察的秘法，除此之外的天文相关的话题我大多不感兴趣。当发现熊、猎户、半人马原来就是前人随意指定的时，就等同于被欺骗、信仰崩塌。

用星座预测运势等话题更多是在和朋友同学聊天时出现，没有人当真，即便当真，也不是能抬头去验证，反而给你一种神秘的兴奋感，它的目的是社交而不是确认事实或信仰，因此反而容易接受。

现在我有了更多词汇来解释为什么存在这些看似任意的星座命名：

人们只是将其作为一种标记，一种索引或指针，与其说“左上角那个最亮的星右侧的一颗”，不如说那是“猎户的腰带上第二颗”。正如祖传代码难以修改，根据历史迭代下来的这套说法已经形成了路径依赖，就像 qwert 键盘也不能随时就被另外一套键盘布局完全取代一样。又正如总有人不断发明新的更”科学“的键盘布局，我想一定有人也在不断重新定义星座，创造出皮卡丘座，奥特曼座，孙悟空座，哪吒座，蜘蛛侠座等等，发起一个个被称为“亚文化圈”的社会实验，但除非人们瞬间一同忘记了流传下来的旧标记协议，否则没有太多理由能推翻重建。

这套星座命名体系实际包含了两层：

第一层是对天空中各个点进行了聚类，但它并不是基于星球之间真实距离或运动规律特征进行的聚类，而是部分宇宙投影到大气层这种近似的二维球面后的距离和亮度，一颗很暗的星可能无比巨大但距离地球非常遥远，而两颗看上去很近的星却属于不同的星系，只是垂直方向投影距离很近。

然而不能说这套协议第一步是基于“错误的”特征，因为人们关心的就是投影层的视觉区分，而不是分析背后的运动规律，当然如果进一步基于这种划分去谈论运动规律就可能导向错误。

第二层是对聚类结果的命名，就像变量名用 abc 还是用 g_stack_point 一样，它是任意的。

这两层并不能划分为独立的阶段，对于大雁南飞现象，因为大雁和天空的界限对人来说基本是明确的、显然的，因此我们可以先识别出那有一群区别与天空中其他对象的飞行物，然后再注意到这些飞行物呈现出 "人" 或者 "一" 字形。

但在星座命名层面，聚类时就已经带着人类对各种动物或想象事物（半人马）的认知滤镜：“因为这几个很亮的星星像一个弓箭”，所以把它聚类在一起，再因为它左侧的几个星星有点像人体骨架关节，所以可以把弓箭和它组合在一起（尽管他们中间并没有太多亮星），最后把它们打包成“猎户”。

因此两层是混合着的，甚至可以说只有一个过程：依据特定的认知范畴（标签）再结合二维投影面上的点的距离和亮度进行筛选和聚类（分类），它是介于识别大雁和跑出特定轨迹之间的认知活动，不断迭代修正了数千年。

开普勒三定律是这样的：

• 第一定律（椭圆定律）：行星轨道不是圆，而是椭圆。太阳位于焦点上，这意味着行星与太阳的距离是随时间变化的。
• 第二定律（面积定律）：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
• 第三定律（周期定律）：行星绕太阳一周的时间的平方与它们轨道半长轴的立方成正比。

在中学学到时，我对第一和第三定律并没有特别的感觉，既然开普勒有大量的来自第谷的观测数据，那么把行星的位置按时间绘制出来就能看出椭圆，而由于行星是运动的，并且具有周期性，因此计算它运动一周的时间并和椭圆几何参数进行比较找规律也很合理，尽管其中用到了平方和立方的关系看上去不是那么直接，但毕竟这也只是最基础的多项式函数，伽利略在测量自由落体运动时就发现下落距离和时间的平方关系，因此做这类尝试看上去并不是非常突兀。

我总觉得第二定律哪里怪怪的，但无法用语言精确表达，可能是“扫过”这个词和天文中对象放在一起有点不那么自然，对付考试只要能记住这些定律就够了，因此即便之后还在不同地方看到开普勒三定律，也不会太在意这种感觉。不知过了多少春秋，就在几个月前，我再次从一本科普书里读到三定律时，突然冒出一连串疑问：为什么要测量行星扫过的面积？宇宙里有地面？需要在宇宙里扫地吗？

尽管后两个像是“扫”这个词联想过度而产生的有趣问题，但对它们的回答更适合出现在类似《银河系漫游指南》的科幻小说中，毕竟那里可以在太阳系中修高速公路，计算面积就变得重要了，这里主要关注第一个问题。

这激起了我尘封已久的第一次读到它时的怪怪的感觉的回忆，是啊，为什么要测量一个行星和另外一个行星连线扫过的面积？这个面积完全是动态存在的，甚至就是不存在的，它不是某人住的房子，需要活动空间，也不会去接收到光照获得营养， 孤零零的在无垠的宇宙中流浪的行星为什么要让自己和太阳连线扫过的面积保持匀速？

即便如此渴望意义的现代人，跑步的时候也只是在意积累的距离信息，比如 5km 或者 10km ，或者是跑步轨迹的形状， 为什么要去测量跑过的圈所围的面积，而且还是面积的变化率？（以下三个阴影处面积相等）

图片来源：开普勒第二定律的“扫过的面积”是什么意思？ - 半清醒的回答 - 知乎

我想先区分 “为什么单位时间行星扫过的面积相等？”以及“为什么开普勒关心行星扫过的面积？”这两个问题。

“为什么单位时间行星扫过的面积相等？” 是一个科学问题，希望找出自然现象背后的原因。

开普勒自己的解释是太阳可能发出一种类似磁力的射线（称为 Species immateriata, 也许是因为那时候人们在地球上看到的很神秘的能隔空产生的力就是磁力。）这种射线就像是一个精灵一样横向推着行星走并且不断调节行星角度和方向。

但我们知道真相并非如此， 这个问题某种层面上已经被牛顿解决了，他的做法是先对力进行重新定义，把它拴在物体质量和速度乘积的变化率上，而非亚里士多德所锚定的速度层面，更不是日常场景所定义的“力大如牛”或“马力”这种动物感官基准上，然后大胆假设太阳对行星有一个超距的作用力 – 万有引力（毕竟也有磁力这种超矩力存在），引力的方向在二者的连线上、和距离平方成反比，那么在某个初速度下行星就会出现这种椭圆轨迹而且单位时间连线扫过的面积是相等的。在这个解释下，“行星扫过的面积”是个非常稳定的特征，它不是像星座聚类那样充满任性的草台班子，而是建立在几何学和经过科学实验验证的运动规律 \( F=\frac{G m_1m_2}{r^2} \) 下的相对稳固的节点。

再之后可以从角动量守恒的视角去解释，然而这也只能说是某种层面解决了，因为“为什么会出现这种力”，“为什么会角动量守恒”等仍然需要被解释，严格来说这是没有底的，牛顿自己解释是上帝创造并且贡献了第一推动力让宇宙动起来。即便后人又请出了时空弯曲，引力场宇宙大爆炸等概念，你还可以问为什么会有引力场，为什么某些量要守恒，为什么要爆炸等。但至少从人能掌控和操作的尺度来看，有牛顿万有引力这一层 API 就足够解释为什么单位时间行星扫过的面积相等了，不需要继续打破抽象层向下挖。

“为什么开普勒关心行星扫过的面积？”这是一个关于个人或者人类认知的问题，是关于注意力如何分配的问题，找出的是人认知现象背后的原因。为什么会注意到行星运动的面积？

这类问题有些很容易回答，比如为什么开普勒会注意到这是椭圆（第一定律）？或者为什么更早的天文学家会注意到行星轨迹是完美的圆，只要回答说，因为我们看过圆，同时看过椭圆，那么再看到另外一个对象的轨迹接近这类对象，这个问题就回答完毕了，这仅仅和你测得数据的精确度有关，而即便有一些误差，只要在能够容忍的范围内（人的感觉或认知本身不是精确），我们就可以说注意到了它是椭圆或圆。就像别人问你为什么注意到那是大雁，你们只需要确认双方视力都没有问题，并且对方理解大雁，这问题就容易解决（除非对方故意抬杠）

但为什么会关心行星扫过的面积？这个问题几乎就无法回答了，如果是在开普勒之后，又有人观察到某个行星和另外两个不在行星轨道上的恒星连线组成三角形扫过的体积的速率是恒定的，那么我们可以回答说，是因为开普勒已经发现了面积规律，受此启发，我们又去观察扫过的体积。这种面积相关的物理启发有很多，比如电磁场中会去讨论通量的变化率，即线圈围成的面积的磁场的总强度在时间上的变化率，竟然和线圈里产生的电压有关，再到现在我们已经怀疑任何事物都是普遍联系的，所以用计算机去生成各种各样的特征，再从中筛选出和目标相关性强的特征，不管它是面积，体积还是成百上千变量的暴力组合，无须物理意义，只要有用就行。

但在开普勒之前并没有这种先例，于是我们可以回答，这就是开普勒的天才创新之处，睹微知著，就像许多数学家能注意到复杂数字符号之间的规律一样。这确实是一种足够好的回答了，就算去问这些数学家，他们也许回答的也是 "显然“ 或者说散步时突然来了灵感，这就像你去问大雁为什么飞出人形，它们会说我不知道“人”是什么，我只是觉得很轻松。

如果还不满意怎么办呢？很多时候可以顾左右而言他，隔靴搔痒，去谈论这个问题的周边：

• 科学目的：开普勒在流变的世界中有一种对不变的真理的渴望，一种高效的语言压缩，不管那是什么特征，只要能找到就行，于是它尝试平面图上的各种特征，欧几里得对面积已经谈论过无数次，因此试一试又何妨？
• 宗教目的：尤瓦尔赫拉利的《智人之上》中提到一种对真相的民粹主义观点，这类观点认为一切活动或者一切意义都是来自于获得权力，这确实是一套可以解释所有与人有关的事件的意义理论，开普勒为什么关心扫过的面积？因为他想获得科学赋予的权力，他要用这种权力对抗教廷，捍卫哥白尼的日心说，从而捍卫另外一套崇拜太阳而不是地球的宗教。
• 生物学目的：为什么渴望真理、权力和科学带来的力量？因为生存本能和幸存者偏差，不渴望的大多被淘汰或没有被我们发现，渴望并留下遗产和文字记录的人被我们读到了。
• （编造的帮助年轻人减少过度思考的善意的）科学家小故事：开普勒拿到第谷留下的数据后，每天都在识别这些数据中的规律，他已经发现行星轨道大多是椭圆，而且和太阳在同一个平面上，也计算出了周期和椭圆最大直径长度之间的关系，但这些都是宏观的，他还需要一个微观的刻画行星速度的运动律，以此彻底描述出行星所有的运动细节。他苦思冥想了几个月还是没有任何头绪，直到一天他在路边散步，看到几个孩子正在分一个椭圆的比萨，每个孩子分到的比萨形状都不相同，一个小女孩拿到了长条但很细的比萨，她带着哭腔说想要更大的比萨块，最大的孩子说，你的比萨虽然细，但是很长，我们的比萨的重量是一样的，因为我是按重量平分的。开普勒大受启发，回去把火星轨道上相同间隔时间的点与太阳连起来，发现即便有些是细的，但很长，说明距离太阳远速度就慢，有些看上去很短，但很宽，距离太阳近速度快，这段时间位移就更大，他估算之后发现面积几乎是相等的，Aha，就此写下第二定律。

还有就是花几个小时把这些想法都写在这，把自己为什么关心“为什么开普勒关心行星扫过面积”的注意力集中释放并转移开，就此翻篇。