动静结合：ODE 解的存在性和唯一性

还以微分方程 \(y' = y^2\) 与初值 \(y(0)=a>0\) 为例。

导数的定义是极限 \(\displaystyle y'(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{y(t+\Delta t)-y(t)}{\Delta t}\)。若将时间离散化，取固定的步长 \(\Delta t = 1\)（即不再取极限），则近似有 \[ \frac{y(t+1)-y(t)}{1} \approx y(t)^2, \] 从而得到差分方程 \[ y_{n+1} - y_n = y_n^2, \quad y_0 = a, \]

这是一个递推关系：

\[ y_{n+1} = y_n + y_n^2, \quad y_0 = a, \]

其中 \(y_n\) 表示离散时刻 \(t=n\) 的近似值。这是一个完全确定性的递推关系：已知 \( y_0 = a \)，可依次唯一算出

\[ \begin{aligned} y_1 &= a + a^2,\\ y_2 &= y_1 + y_1^2 = a + a^2 + (a+a^2)^2,\\ y_3 &= y_2 + y_2^2 = a + a^2 + (a+a^2)^2 + \bigl(a + a^2 + (a+a^2)^2\bigr)^2,\\ &\quad\vdots \end{aligned}\]

如此，从初始的一个点出发，依靠每一步的局部规则（当前值决定下一值），就能唯一地构造出整个离散序列。

递推关系（差分）通过明确的“下一步”规则唯一地生成了整个序列；

而导数则把 "下一步" 细化到“无穷小步”，通过极限过程同样唯一地限定了函数的行为。

换句话说，连续是离散的极限，唯一性在离散中显然成立，而极限的设计足够符合直觉，在步长趋于零过程中，只要不是真正的 0 ，它仍然是离散的，解就是唯一的，因此连续情况下解也是唯一。

如果面对的方程是 \( 2x=2 \), 本文不会将它称为静态的，因为看到它之后会联想到明确的符号消融规则，把它变成 \( x=1 \) 从而直接求解。

所以是否静态和个人对公式的联想或注意力水平有关，它是非正式的说法。

拿到方程 \( x^2=2 \) 时，尽管它可以写成 \( x=\sqrt{2} \) 或者更准确地 \( x=\pm \sqrt{2} \), 但 \( \sqrt{2} \) 本质还是一个数加上一个计算符号，更像是对解的一种符号命名，它表示的是那个平方等于 2 的正数。

尽管我能记住 \( \sqrt{2} \) 的前几项是 \( 1.414 \) ，但它并非 x 的准确解，所以对我来说 \( x^2=2 \) 并不是一个能快速求解或化简的式子，因此将其称为静态。

如果想要用十进制或分数表示 \( \sqrt{2} \)，就必须谈论无限逼近的过程，这个过程是无止境的，它是动态的。

因此我们得给 \( x^2=2 \) 一个动态的解释，从一些尝试中可以发现 1 和 2 都不是它的解，真正的解是在二者之间，因此一种做法是用二分，把 [1,2] 作为左右端点，选其中点计算后和 2 比较，如果中点平方小于2，说明解在中点右侧，把左端点移到中点；如果大于2，则右端点移到中点。这样反复缩小区间，每一步都让包含解的区间长度减半，无限进行下去，区间会收缩到一个点。

这种方法效率比较低，每次误差缩小为原来的 1/2 ，误差消除的速度（也称收敛速度）比接下来介绍的方法更慢，另外，由于每次要比较结果和 2 的关系再决策，它很难写成一个统一的代数式子去分析性质。

拿这种方法主要是为了展示静态方程可以被解释为一个动态的过程，该过程最终会逼近方程的正确解。

另一种不需要涉及比较判断的方法是 \( x_{n+1}=\frac{1}{2} (x_n + \frac{2}{x_n}) \)

它的解释是，先猜测一个解，比如 a, 用 2 除以它，那么满足 \( a \frac{2}{a} = 2 \)，即 a 和 2/a 是 2 的两个因子，这两个因子不可能同时小于或大于 \( \sqrt{2} \), 因此它们的平均值会更接近 \( \sqrt{2} \) 。

这个表达式本身也是算法，因此它相比二分算法有许多数学上的好处：

• 我们只需要选择一个初始值，每次计算完继续代入方程计算就可以，不需要任何比较判断。
• 如果 \( x_{n+1} \) 最终等于 \( x_n \) ，其都等于 x, 那么有 \( x=\frac{1}{2}(x+\frac{2}{x}) \), 整理后就是 \( \frac{1}{2}x = \frac{1}{x} \) 即 \( x^2=2 \), 即这个迭代的代数式子中本身包含了 \( x^2=2 \) 的静态方程。

牛顿法则把这种直观的猜测-计算-求平均的思路总结成一套系统方法，即我们求解的是 \( f(x)=x^2-2 \) 函数的根，即 f(x)=0 的解，通过引入导数切线的概念，可以写成

由于函数 f(x) 是通用概念，它可以扩展到高维函数如 f(x,y), 导数也可以扩展到梯度，因此这种方法可以扩展到多元函数上

如果 t 是时间，那么不考虑它为负的场景，定义域就是 \(0 < t < 1/a\)，因为在 \(t=1/a\) 处趋近 \(+\infty\)。

从这个点以我们无法事先知道什么时候会遇到无穷的墙，可能是 t=1 函数就无定义了，比如 \( \frac{1}{1-t} \) 也可能是无限远处，例如 \( e^t \) 。

注意 a>0 的场景，在离散情况下，尽管增长速率很快，但理论上还是可以进行无限次迭代，比如当 t=1000 时刻也能计算出一个函数值。

而用分离变量法求出的连续函数，其定义域被限制在了 [0, 1/a] 之间，如果 a 很大，比如是 100, t 只能在一个很窄的区间 [0,1/100] 上。

这个例子体现出微分方程解函数的定义域可能是非常“局部”的。它是由解的连续性以及初始条件共同约束导致的。

考虑一个最简单的微分方程： \[ y' = y, \quad y(0) = 1 \] 用欧拉法求解它在 [0,1] 上的解（的采样），选择步长 h = 0.5, 有 \[ y_{k+1} = y_k + h \cdot y_k = (1+h) y_k \] 起点 \(y_0 = 1\)。

• \(t_0=0,\; y_0=1\)
• \(t_1=0.5,\; y_1 = (1+0.5)\cdot 1 = 1.5\)
• \(t_2=1.0,\; y_2 = 1.5 \cdot 1.5 = 2.25\)

这里我们得到了 3 个离散点 (0,1),(0.5,1.5),(1,2.25) ，这三个点是对解 \( e^t \) 的近似的采样。

它们不会组成某种潜在收敛的序列。

但如果我们分别取不同的步长，将其变成一个步长序列 \(h_n = \frac{1}{n}\)，每个 \(h_n\) 做一次欧拉法，得到一组离散点。

对每个 n，将离散点连成折线函数 \(y_n(t)\)（分段线性）。

• \(n=2\)（\(h=0.5\)）：折线连接 (0,1)→(0.5,1.5)→(1,2.25)
• \(n=4\)（\(h=0.25\)）：4 段折线
• \(n=8\)（\(h=0.125\)）：8 段折线
• ……

这样就得到一个函数序列 \(\{y_n(t)\}\)，定义在 \([0,1]\) 上。

也就是说，我们可以通过欧拉法，以计算的方式明确地构造出无数个函数（的离散采样点），最终我们可以去论证这些函数会收敛到一个最终结果，也就是 \( e^t \)

但从理论上，这样做有很大的问题，首先我们得到的只是离散采样点，即便将其连成折线，函数表达式也非常复杂，而且不同 h 之间得到的函数在代数上看并没有什么联系，因此我们很难从理论层面（符号规律）层面去讨论则无穷个函数组成的序列的性质，比如是否会收敛，收敛成什么等。

虽然在计算的时候，我们更喜欢从微分形式出发去使用欧拉法，但在理论证明上，我们却会把微分方程变成积分方程，比如 x'=x 变成 \( x(t) = C+\int_0^t x(s) ds \), 加上初始条件 C=1, 就是 \( x(t) = 1+\int_0^t x(s) ds \), 为什么会有这种对偶，即实践计算用微分，理论用积分

我们在想证明积分交换定理之前，实际就是有很多背景目的和对函数的期望的，我们不会莫名其妙去谈论一个函数序列，还去说它是否收敛

这本质是两个极限的交换，和无穷级数求和是否可以重排是类似的

给定一个函数序列 \( f_1,f_2,f_3,\dots \) ，如果它们都是可积函数（不一定是连续，但连续一定可积），那么可以对每个函数都在固定区间比如 [a,b] 求积分，得到一个新的序列 \( \int_a^b f_1 ,\int_a^b f_2,\int_a^b f_3,\dots \)

我们想知道的是，假设原始序列有极限是 f, 那么第二个积分序列是否也有极限，并且极限是否就是 \( \int_a^b f \) 如果是的话，我们可以绕过给每个元素求积分再求极限。

这里的回答是，只有 f[n] 序列是一致收敛到 f 的。

如果 f[n] 都是连续函数，那么可以通过三角不等式证明其一致收敛的对象函数 f 也是连续的

但这里给定的条件只是 f[n] 可积，这时候回到积分的更底层定义，即上下积分 如果 f[n] 都是连续函数，那么可以通过三角不等式证明其一致收敛的对象函数 f 也是连续的

在知道 f 可积之后， \( \int_a^b f \) 就是一个合法函数了，现在我们要证明的是

\( \int_a^b f dx = \lim_{n\to \infty} \int_a^b f_n dx \)

这是一个一般的函数收敛问题，即用 e/N 语言证明，这里积分是一个极限，n 也是在求极限，核心在于这两个维度的极限都是收敛的

这部分证明 ODE 解唯一性中中不需要用到，它需要更苛刻要求，即 f[n] 的导数是连续且一致收敛的

但我们可以用这个结论去证明 E(x) 即 \( \sum \frac{x^n}{n!} \) 的导数是其自身，之前我们是无法直接用其每个项的导数的极限来表示其自身的导数的

如果我们把 \( x'=x \) 写成积分 \( x(t) = 1+\int_0^t x(s) ds \) 的迭代形式，第一步猜一个最简单的函数 x(t)=1, 然后迭代：

\( x_1 = 1 + \int_0^t 1 ds = 1 + t \) \( x_2 = 1 + \int_0^t (1 + s) ds = 1 + t + \frac{1}{2}t^2 \) \( x_3 = 1 + t + \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{6}t^3 \)

会发现，积分算子自动把多项式的阶数向上推进，这正好是 \( e^t \) 的 Taylor 展开。

但如果用 \( x=x' \) 的方向去迭代，即便你猜测是 \( 1+t+t^2 \) 第一次迭代 \( x_1 = x_0' = 1 + 2t \)。 第二次迭代 \( x_2 = x_1' = 2 \)。 第三次迭代 \( x_3 = x_2' = 0 \)。

最后猜测的内容全部丢失了。

这是微分会丢失信息，比如对于任意常数函数 y=c，微分都把它映射到 0, 你再也不知道之前是什么函数了，

但积分不会，无论如何积分，求它的逆即微分之后还是会得到原始函数，所有信息得到了保留。

如果用变换（算子）的语言来描述，积分和微分都是一种变换，输入一个函数 f(t) 返回一个函数 g(t)，如果我们输入和输出空间都是多项式组成的函数，即 \( \sum a_n x^n \) ，那么微分它不是单射，

单射要求任意值域中的对象只有一个原象，也就是两个输入不会碰撞在一起。碰撞意味着信息丢失了，输入 y=1 和 y=2 到微分中，它们都是 y=0, 因此你无法通过输出 y=0 来还原输入是 y=1 还是 y=2 （这里无限个常数函数的信息都丢失了）

这也体现出，级数比一般序列是更有结构的，它包含了之前的所有历史，整个历史给予了它很大的一种“惯性”，因此级数的收敛和发散往往是一种相变级别的，会存在收敛域，而不是零散，这是“历史包袱”所带来的作用。

但在实践中，如果只估计某个单独的解，微分提供了局部操作的指南，给定一个初始值用欧拉法可以很快迭代出近似的解，这个过程中我们核心就是要避免导数为 0 的点，因为进入这个点之后就无法再出来了，但实践中我们有许多方法去避开，因为本身就是求一个近似解。

当使用积分迭代（Picard Iteration）时，每次迭代“构造”出一个新的解析解，这个解比上一次增加更小的误差项，这种积累最终收敛使得得到唯一的函数极限。

Picard 迭代的定义是： \[x_{n+1}(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, x_n(s)) ds\]

当我们说迭代收敛时，本质上是取 \( n \to \infty \)。假设序列 \( x_n \) 收敛到一个极限函数 \( x(t) \)，我们将极限符号 \( \lim_{n \to \infty} \) 放入方程两边： \[\lim_{n \to \infty} x_{n+1}(t) = x_0 + \lim_{n \to \infty} \int_{t_0}^t f(s, x_n(s)) ds\]

左边是 x(t)。但右边呢？如果不能把极限号丢进积分号里面，就卡住了，只有交换后得到 \( x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t \lim_{n \to \infty} f(s, x_n(s)) ds = x_0 + \int_{t_0}^t f(s, x(t)) ds \)。